■ 問題
第２問
ｐを実数とし、ｆ(ｘ)＝ｘ^3－ｐｘとする。
(1) 関数ｆ(ｘ)が極値をもつためのｐの条件を求めよう。ｆ(ｘ)の導関数は
ｆ'(ｘ)＝[ア]ｘ^[イ]－ｐである。したがって、ｆ(ｘ)がｘ＝ａで極値をとる
ならば、[ア]ａ^[イ]－ｐ＝[ウ]が成り立つ。さらに、ｘ＝ａの前後でのｆ'(ｘ)の
符号の変化を考えることにより、ｐが条件[エ]を満たす場合は、ｆ(ｘ)は必ず
極値をもつことがわかる。[エ]に当てはまるものを、次の{0}～{4}のうちから
一つ選べ。
{0} ｐ＝０ {1} ｐ＞０ {2} ｐ≧０ {3} ｐ＜０ {4} ｐ≦０
(2) 関数ｆ(ｘ)がｘ＝ｐ／３で極値をとるとする。また、曲線ｙ＝ｆ(ｘ)をＣ
とし、Ｃ上の点(ｐ／３，ｆ(ｐ／３))をＡとする。
ｆ(ｘ)がｘ＝ｐ／３で極値をとることから、ｐ＝[オ]であり、ｆ(ｘ)は
ｘ＝[カキ]で極大値をとり、ｘ＝[ク]で極小値をとる。
曲線Ｃの接線で、点Ａを通り傾きが０でないものをｌとする。ｌの方程式を
求めよう。ｌとＣの接点のｘ座標をｂとすると、ｌは点(ｂ，ｆ(ｂ))における
Ｃの接線であるから、ｌの方程式はｂを用いて
ｙ＝([ケ]ｂ^2－[コ])(ｘ－ｂ)＋ｆ(ｂ)
と表すことができる。また、ｌは点Ａを通るから、方程式
[サ]ｂ^3－[シ]ｂ^2＋１＝０
を得る。この方程式を解くと、ｂ＝[ス]，[セソ]／[タ]であるが、ｌの傾きが
０でないことから、ｌの方程式は
ｙ＝([チツ]／[テ])ｘ＋[ト]／[ナ]
である。
点Ａを頂点とし、原点を通る放物線をＤとする。ｌとＤで囲まれた図形のうち、
不等式ｘ≧０の表す領域に含まれる部分の面積Ｓを求めよう。Ｄの方程式は
ｙ＝[ニ]ｘ^2－[ヌ]ｘ
であるから、定積分を計算することにより、Ｓ＝[ネノ]／２４となる。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マル１は{1}、
マーク部分の□は[ ]で表記しています。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、底がａ真数がｂの対数はｌｏｇ[a]ｂ
マル１は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次
◆１ 導関数は傾きを表す
◆２ 極値では導関数の値が０
◆３ 積分は微分の逆で、面積
◆４ 導関数なので微分
(以下略)
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■ 解説
(◆１～３は省略します)
◆４ 導関数なので微分
さてそれではこの辺で、今回の問題にいってみましょう！
まず「ｐを実数とし、ｆ(ｘ)＝ｘ^3－ｐｘとする」とあります。
比較的シンプルな３次関数ですね。
そして、まず最初に聞いていることは、
「ｆ(ｘ)の導関数はｆ'(ｘ)＝[ア]ｘ^[イ]－ｐである」
です。
早速出てきました。導関数。
導関数は微分した関数なので、ｆ(ｘ)を微分してみます。
それぞれの項について「次数を１下げて、もとの次数を係数に掛ける」ので、
ｆ'(ｘ)＝３ｘ^2－ｐ
となります。
最初の設問はこれだけで完成！
よって、[ア]＝３，[イ]＝２
(以下略)
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