■ 問題
第３問
数列{ａn}の初項は６であり、{ａn}の階差数列は初項が９，公差が４の等差数列
である。
(1) ａ2＝[アイ]，ａ3＝[ウエ]である。数列[ａn}の一般項を求めよう。{ａn}の
等差数列の第ｎ項が[オ]ｎ＋[カ]であるから、数列{ａn}の一般項は
ａn＝[キ]ｎ^[ク]＋[ケ]ｎ＋[コ] ・・・・・・{1}
である。
(2) 数列{ｂn}は、初項が２／５で、漸化式
ｂn+1＝{ａn／(ａn+1－１)}ｂn (ｎ＝１，２，３，…) ・・・{2}
を満たすとする。ｂ2＝[サ]／[シス]である。数列[ｂn}の一般項と初項から
第ｎ項までの和Ｓnを求めよう。
{1}，{2}により、すべての自然数ｎに対して
ｂn+1＝{([セ]ｎ＋[ソ])／([セ]ｎ＋[タ])}ｂn ・・・{3}
ここで
ｃn＝([セ]ｎ＋[ソ])ｂn ・・・{4}
とするとき、{3}をｃnとｃn+1を用いて変形すると、すべての自然数ｎに対して
([セ]ｎ＋[チ])ｃn+1＝([セ]ｎ＋[ツ])ｃn
が成り立つことがわかる。これにより
ｄn＝([セ]ｎ＋[テ])ｃn ・・・{5}
とおくと、すべての自然数ｎに対して、ｄn+1＝ｄnが成り立つことがわかる。
ｄ1＝[ト]であるから、すべての自然数ｎに対して、ｄn＝[ト]である。
したがって、{4}と{5}により、数列{ｂn}の一般項は
ｂn＝[ト]／{([セ]ｎ＋[ソ])([セ]ｎ＋[テ])}
である。また
ｂn＝[ナ]／([セ]ｎ＋[ソ])－[ニ]／([セ]ｎ＋[テ])
が成り立つことを利用すると、数列{ｂn}の初項から第ｎ項までの和Ｓnは
Ｓn＝[ヌ]ｎ／([ネ]ｎ＋[ノ])
であることがわかる。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、数列{ａn}のｎ＋１項目はａn+1、
マル１は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次
◆１ 等差数列と等比数列の用語と公式
◆２ 階差数列は２項間の差
(以下略)
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■ 解説
(◆１は省略します)
◆２ 階差数列は２項間の差
そして、今回の問題の最初には、「階差数列」という言葉があります。
まず数列とは、一定の法則に従って変化する数を並べたものです。
この法則は、ある項と次の項との差を利用して表すこともできます。
この「ある項と次の項との差」を表す数列が「階差数列」です。
「{ａn}の階差数列は初項が９，公差が４の等差数列」というのは、ある項と次の
項との差は、初項が９，公差が４の等差数列として表される。ことを意味します。
この階差数列は、９，１３，１７，２１，・・・
となりますね。
等差数列の公式に、ａ＝９，ｄ＝４を代入すれば、この数列のｎ番目の項を
求められます。この際やってみましょう！
ａ＋(ｎ－１)ｄ＝９＋(ｎ－１)×４
＝９＋４ｎ－４
＝４ｎ＋５
これはつまり、{ａn}の階差数列の第ｎ項です。
よって、[オ]＝４，[カ]＝５
(以下略)
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