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■ 問題
2016年センター試験数2Bより
第１問
[ 1 ]
(1) ８^(5/6)＝[ア]√[イ]，ｌｏｇ[27](１／９)＝[ウエ]／[オ]である。
(2) ｙ＝２^xのグラフとｙ＝(１／２)^xのグラフは[カ]である。
ｙ＝２^xのグラフとｙ＝ｌｏｇ[2]ｘのグラフは[キ]である。
ｙ＝ｌｏｇ[2]ｘのグラフとｙ＝ｌｏｇ[1/2]ｘのグラフは[ク]である。
ｙ＝ｌｏｇ[2]ｘのグラフとｙ＝ｌｏｇ[2](１／ｘ)のグラフは[ケ]である。
[カ]～[ケ]に当てはまるものを、次の{0}～{3}のうちから一つずつ選べ。
ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
{0}同一のもの {1}ｘに関して対称
{2}ｙ軸に関して対称 {3}直線ｙ＝ｘに関して対称
(3) ｘ＞０の範囲における関数ｙ＝{ｌｏｇ[2](ｘ／４)}^2－４ｌｏｇ[4]ｘ＋３の
最小値を求めよう。
ｔ＝ｌｏｇ[2]ｘとおく。このとき、ｙ＝ｔ^2－[コ]ｔ＋[サ]である。また、
ｘがｘ＞０の範囲を動くとき、ｔのとり得る値の範囲は[シ]である。
[シ]に当てはまるものを、次の{0}～{3}のうちから一つ選べ。
{0}ｔ＞０ {1}ｔ＞１ {2}ｔ＞０かつｔ≠１ {3}実数全体
したがって、ｙはｔ＝[ス]のとき、すなわち、ｘ＝[セ]のとき、最小値[ソタ]
をとる。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、対数の底やマーク部分の□は[ ]で
表記しています。
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■ 解説目次
◆１ 分数の指数の計算
◆２ 指数・対数の関係
◆３ 対数の計算法則
◆４ 分数の指数は累乗根
◆５ 具体的な値を考えて
(以下略)
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■ 解説
(◆１～３は省略します)
◆４ 分数の指数は累乗根
前置きはこの辺にして、今回の問題へ！
(1) ８^(5/6)＝[ア]√[イ]，ｌｏｇ[27](１／９)＝[ウエ]／[オ]である。
まずはコレです。
普通に、計算法則を適用すればＯＫ！
分数の指数は累乗根なので、８^(1/6)は８の６乗根です。
８^(5/6)＝{８^(1/6)}^5
＝{(２^3)^(1/6)}^5
＝{２^(1/2)}^5
＝(√２)^5
＝４√２
ウエオは指数と対数の関係より、
ｌｏｇ[27](１／９)＝ａとすると、
２７^a＝１／９
３^3a＝３^(-2)
３ａ＝－２
ａ＝－２／３
よって、[ア]＝４，[イ]＝２，[ウエ]＝－２，[オ]＝３
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◆５ 具体的な値を考えて
(2)は、指数関数、対数関数のグラフの形について聞いています。
ｙ＝２^xは、ｘの値が１，２，３，・・・と増えていくと、
ｙの値は２，４，８，・・・と増えていきます。
ｘの値が－１，－２，－３，・・・と減っていくと・・・
(以下略)
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発行者 江間淳(EMA Atsushi)
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