2017年07月11日

本日配信のメルマガ。2016年センター数学1A第1問[1] 命題と集合

本日配信のメルマガでは、2016年大学入試センター試験数学1A第1問[2]を解説します。

■ 問題

2016年センター試験数1Aより

第1問

[2] 次の問いに答えよ。必要ならば、√7が無理数であることを用いてよい。

(1) Aを有理数全体の集合、Bを無理数全体の集合とする。空集合を{}と表す。
(ただし、実際のセンター試験では、空集合は○に斜め線の入った記号で表している)

 次の(i)〜(iv)が真の命題になるように、[サ]〜[セ]に当てはまるものを、下の
{0}〜{5}のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

(i) A[サ]{0}  (ii)√28[シ]B
(iii) A={0}[ス]A  (iv) {}=A[セ]B

{0}∈  {1}∋  {2}⊂  {3}⊃  {4}∩  {5}∪


(2) 実数xに対する条件p,q,rを次のように定める。

  p:xは無理数
  q:x+√28は有理数
  r:(√28)xは有理数

次の[ソ],[タ]に当てはまるものを、下の{0}〜{3}のうちから一つずつ選べ。
ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

  pはqであるための[ソ]。
  pはrであるための[タ]。

{0} 必要十分条件である
{1} 必要条件であるが、十分条件でない
{2} 十分条件であるが、必要条件でない
{3} 必要条件でも十分条件でもない


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 素早くやり方を見抜くのが大切
 ◆2 集合を含むか要素を含むか
 ◆3 「かつ」と「または」
 ◆4 {0}は集合
 ◆5 一つ一つ丁寧に確認して


(以下略)


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■ 解説

(◆1〜3は省略します)


 ◆4 {0}は集合

前置きが長くなりましたが、いよいよ今回の問題です。

(1) Aを有理数全体の集合、Bを無理数全体の集合とする。空集合を{}と表す。

 次の(i)〜(iv)が真の命題になるように、[サ]〜[セ]に当てはまるものを、下の
{0}〜{5}のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

(i) A[サ]{0}  (ii)√28[シ]B
(iii) A={0}[ス]A  (iv) {}=A[セ]B

{0}∈  {1}∋  {2}⊂  {3}⊃  {4}∩  {5}∪


記号がたくさん出てきて、すごく難しそうに見えるかも知れませんが、記号の意味
をよく考えれば、特に難しいことはありません。落ち着いて考えていきましょう!


まずは「(i) A[サ]{0}」について。

このメルマガでは、マル1を{1}と表しているので、マル0は{0}と書いていますが
集合を要素を書き表す形で表現するときは、{ }で囲みます。
そして、「(i) A[サ]{0}」の{0}は、要素が0の集合を表しています。
注意してください。

さて、Aは有理数で、0も有理数なので、0はAに含まれます。

そして、{0}という表し方は、「要素として0のみを含む集合」を意味します。

つまり、{0}はAの部分集合ですね。よって、「A⊃{0}」です。

よって、解答は[サ]={3}⊃


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 ◆5 一つ一つ丁寧に確認して

続いて、残りの3つについても考えていきましょう。

(ii)√28[シ]B

「Bは無理数全体の集合」で、√28=2√7で、ルートの部分は消せなかった
ので無理数です。
ならば・・・


(以下略)


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