2017年07月14日

本日配信のメルマガ。2016年センター数学2B第1問[2] 三角関数

本日配信のメルマガでは、2016年大学入試センター試験数学2B第1問[2]を解説します。

■ 問題

第1問

[2] kを正の定数として

  (cosx)^2−(sinx)^2+k{1/(cosx)^2−1/(sinx)^2}=0
  ……{1}

を満たすxについて考える。

(1) 0<x<π/2の範囲で{1}を満たすxの個数について考えよう。

 {1}の両辺に(sinx)^2・(cosx)^2をかけ、2倍角の公式を用いて変形
すると

{(sin2x)^2/[チ]−k}cos2x=0  ……{2}

を得る。
したがって、kの値に関係なく、x=π/[ツ]のときはつねに{1}が成り立つ。

また、0<x<π/2の範囲で0<(sin2x)^2≦1であるから、
k>[テ]/[ト]のとき、{1}を満たすxはπ/[ツ]のみである。

一方、0<k<[テ]/[ト]のとき、{1}を満たすxの個数は[ナ]個であり、
k=[テ]/[ト]のときは[ニ]個である。


(2) k=4/25とし、π/4<x<π/2の範囲で{1}を満たすxについて
考えよう。

 {2}によりsin2x=[ヌ]/[ネ]であるから

 cos2x=[ノハ]/[ヒ]

である。したがって

 cosx=√[フ]/[ヘ]

である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で
表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 π=180°
 ◆2 角度と三角比の値は比例しない
 ◆3 まずは問題の設定・指示を理解して
 ◆4 2倍角は変形して使うことが多い


(以下略)


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■ 解説

(◆1,2は省略します)


 ◆3 まずは問題の設定・指示を理解して

では、今回の問題です。

[2] kを正の定数として

  (cosx)^2−(sinx)^2+k{1/(cosx)^2−1/(sinx)^2}=0
  ……{1}

を満たすxについて考える。

らしいです(笑)
サインとかコサインとかたくさんあって難しそうに見えますが、何をすべきか
次に書いてあります。

(1) 0<x<π/2の範囲で{1}を満たすxの個数について考えよう。

 {1}の両辺に(sinx)^2・(cosx)^2をかけ、2倍角の公式を用いて変形
すると

{(sin2x)^2/[チ]−k}cos2x=0  ……{2}

を得る。

このように書いてあるので、その通りやってみましょう!

・・・と言いたいところですが、その前に、2倍角の公式について簡単に解説
しておきます。

2倍角の公式は、三角関数の加法定理の応用です。

★ sin(α+β)=sinα・cosβ+cosα・sinβ
★ cos(α+β)=cosα・cosβ−sinα・sinβ

このαとβがどちらもxに、つまり、2xになれば2倍角の公式です。

★ sin2x=2sinx・cosx
★ cos2x=(cosx)^2−(sinx)^2

この2倍角の公式を使って式を変形してね。といっているのですね!


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 ◆4 2倍角は変形して使うことが多い

(cosx)^2−(sinx)^2+k{1/(cosx)^2−1/(sinx)^2}=0の
両辺に(sinx)^2・(cosx)^2をかけると、

{(sinx)^2・(cosx)^2}{(cosx)^2−(sinx)^2}
+k{1/(cosx)^2−1/(sinx)^2}{(sinx)^2・(cosx)^2}=0
(sinx・cosx)^2・{(cosx)^2−(sinx)^2}
                  +k{(sinx)^2−(cosx)^2}=0

ここで、2倍角の公式を使います。

sin2x=2sinx・cosxの両辺を2で割って、
sinx・cosx=(1/2)sin2xを導きます。

cos2x=(cosx)^2−(sinx)^2は、そのまま使えますね!

(sin2x/2)^2・cos2x+k・(−cos2x)=0
  {(sin2x)^2/4}cos2x−k・cos2x=0
        {(sin2x)^2/4−k}cos2x=0  ←くくった

これで解答の形式と同じ形になりました。

よって、[チ]=4


(以下略)


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