■ 問題
2016年センター試験数１Ａより
第１問
[3] ａを１以上の定数とし、ｘについての連立不等式
{ｘ^2＋(２０－ａ^2)ｘ－２０ａ^2≦０ ・・・{1}
{ｘ^2＋４ａｘ≧０ ・・・{2}
を考える。このとき、不等式{1}の解は[チツテ]≦ｘ≦ａ^2である。
また、不等式{2}の解はｘ≦[トナ]ａ，[ニ]≦ｘである。
この連立不等式を満たす負の実数が存在するようなａの値の範囲は
１≦ａ≦[ヌ]
である。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次
◆１ 素早くやり方を見抜くのが大切
◆２ ２次方程式の解は境界線
◆３ ゼロ以下ならｘ軸の下
(以下略)
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■ 解説
(◆１は省略します)
◆２ ２次方程式の解は境界線
第１問[3]では、不等式に関する問題が配置されました。
正面から２次不等式を解く問題です。
早速やってみましょう！
まずは{1}から。
ｘ^2＋(２０－ａ^2)ｘ－２０ａ^2≦０
２次不等式を解くときには、まずは不等号をイコールに書き換えて解くことが
多いです。
２次方程式に書き換えて求められた解は、不等式の解の範囲の境目を表すから
です。
ｘ２乗の係数がないので、中学レベルの「掛けて～、足して～」方式を試して
みましょう。
かけて－２０ａ^2、足して２０－ａ^2になるような２つの数(式)の組み合わせを
考えます。少し考えれば・・・
２０と－ａ^2ならばうまくいきそうですね！
ｘ^2＋(２０－ａ^2)ｘ－２０ａ^2＝０とすると、
(ｘ＋２０)(ｘ－ａ^2)＝０
よって、ｘ＝－２０，ａ^2
この不等式の解の境界線は、ｘ＝－２０とａ^2であることがわかりました。
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◆３ ゼロ以下ならｘ軸の下
今求めた２次方程式の解をどう使えば良いでしょうか？
ｙ＝ｘ^2＋(２０－ａ^2)ｘ－２０ａ^2という２次関数と組み合わせて考えます。
ｙ＝ｘ^2＋(２０－ａ^2)ｘ－２０ａ^2は、下に凸の２次関数です。
この２次関数の値を考える。つまり、グラフ上の位置を考えることで、２次不等式
の解を求めることができます。
少しばかりイメージは沸いたでしょうか？
ここで・・・
(以下略)
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