■ 問題
2017年センター試験数2Bより
以下において考察する数列の項は、すべて実数であるとする。
(1) 等比数列{sn}の初項が1,公比が2であるとき
s1s2s3=[ア],s1+s2+s3=[イ]
である。
(2) {sn}を初項x,公比rの等比数列とする。a,bを実数(ただしa≠0)とし、
{sn}の最初の3項が
s1s2s3=a^3 ……{1}
s1+s2+s3=b ……{2}
を満たすとする。このとき
xr=[ウ] ……{3}
である。さらに、{2},{3}を用いて、r,a,bの満たす関係式を求めると
[エ]r^2+([オ]−[カ])r+[キ]=0 ……{4}
を得る。{4}を満たす実数rが存在するので
[ク]a^2+[ケ]ab−b^2≦0 ……{5}
である。
逆に、a,bが{5}を満たすとき、{3},{4}を用いて、r,xの値を求めることが
できる。
(3) a=64,b=336のとき、(2)の条件{1},{2}を満たし、公比が1より
大きい等比数列{sn}を考える。{3},{4}を用いて{sn}の公比rと初項xを
求めると、r=[コ],x=[サシ]である。
{sn}を用いて、数列{tn}を
tn=sn・log[コ]sn (n=1,2,3,…)
と定める。このとき、{tn}の一般項はtn=(n+[ス])・[コ]^(n+[セ])である。
{tn}の初項から第n項までの和Unは、Un−[コ]Unを計算することにより
Un={([ソ]n+[タ])/[チ]}・[コ]^(n+[ツ])−[テト]/[ナ]
であることがわかる。
※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、数列{an}のn+1項目はan+1、
一般項n^2の初項から第n項までの数列の和はΣ[k=1〜n]k^2、マル1は{1}、
マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次
◆1 等差数列と等比数列の用語・公式
◆2 初項と公比がわかっているので等比数列の公式
◆3 文字でも等比数列の公式に代入
(以下略)
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■ 解説
(◆1は省略します)
◆2 初項と公比がわかっているので等比数列の公式
では、最初の設問です。
(1) 等比数列{sn}の初項が1,公比が2であるとき
s1s2s3=[ア],s1+s2+s3=[イ]
とあります。
初項と公比が与えられているので、s1,s2,s3を直接求めることができますね。
最初が1で、次の項に行くたびに2を掛けるので・・・
s1=1,s2=2,s3=4です。これらの値をそのまま使って、
s1s2s3=1×2×4=8
s1+s2+s3=1+2+4=7
よって、[ア]=8,[イ]=7
まずは基本ですね。
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◆3 文字でも等比数列の公式に代入
続いて(2)では、「初項x,公比r」と変わっています。
さらに、
s1s2s3=a^3 ……{1}
s1+s2+s3=b ……{2}
という条件が与えられました。
「うわっ文字だらけ」「無理」と感じる人もいると思いますが、行き先が
見えなくても、とにかく基本通りにやることが大切です。
初項x,公比rなので、s1=x,s2=xr,s3=xr^2となります。
これらを{1}と{2}の式に代入してみましょう!
x・xr・xr^2=a^3
x+xr+xr^2=b
という式ができました。・・・まだ見えてきませんか?
とりあえず・・・
(以下略)
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