2017年10月31日

本日配信のメルマガ。2013年センター数学1A第1問[2] 命題と集合

本日配信のメルマガでは、大学入試センター試験数学1A第1問[2]を解説します。

■ 問題

第1問

[2] 三角形に関する条件p,q,rを次のように定める。

   p:三つの内角が全て異なる
   q:直角三角形でない
   r:45°の内角は一つもない
          _       _ _
   条件pの否定をpで表し、同様にq,rはそれぞれ条件q,rの否定を
  表すものとする。
                        _
  (1) 命題「r→(pまたはq)」の対偶は「[ク]→r」である。
  [ク]に当てはまるものを、次の{0}〜{3}のうちから一つ選べ。
             _  _     _         _   _
 {0} (pかつq)  {1} (pかつq)  {2} (pまたはq)  {3} (pまたはq)

  (2) 次の{0}〜{4}のうち、命題「(pまたはq)→r」に対する反例となって
  いる三角形は[ケ]と[コ]である。
  [ケ]と[コ]に当てはまるものを、{0}〜{4}のうちから一つずつ選べ。
  ただし、[ケ]と[コ]の解答の順序は問わない。

 {0} 直角二等辺三角形
 {1} 内角が30°,45°,105°の三角形
 {2} 正三角形
 {3} 三辺の長さが3,4,5の三角形
 {4} 頂角が45°の二等辺三角形

  (3) rは(pまたはq)であるための[サ]。
  [サ]に当てはまるものを、次の{0}〜{3}のうちから一つ選べ。

 {0} 必要十分条件である
 {1} 必要条件であるが、十分条件ではない
 {2} 十分条件であるが、必要条件ではない
 {3} 必要条件でも十分条件でもない

※マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 逆・裏・対偶
 ◆2 必要条件・十分条件
 ◆3 「または」と「かつ」が入れ替わる
 ◆4 時には華麗にスルー
 ◆5 p,q,rを再確認して


(以下略)


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■ 解説


(◆1,2は省略します)


 ◆3 「または」と「かつ」が入れ替わる

では、今回のセンター試験の問題を検討してみましょう。

まず最初は、命題「r→(pまたはq)」の対偶を尋ねる設問です。

今◆1で確認したように、「対偶は逆かつ裏」ですね。

まず、逆は入れ替えただけなので、「(pまたはq)→r」となります。
              _  _   _
そして、裏は否定なので、「r→(pまたはq)」・・・でなく、
_  _  _
「r→(pかつq)」となります。

なお、裏になると「または」と「かつ」は相互に入れ替わることに
注意してください。
  _  _  _
「対偶は逆かつ裏」なので、命題「r→(pまたはq)」の対偶は、「(pかつq)→r」
で、[ク]に当てはまるのは{1}となります。


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 ◆4 時には華麗にスルー

次は、命題「(pまたはq)→r」に対する反例となっている三角形を選ぶ問題です。
いきなりグンと難易度が上がったように見えるかも知れません。

これに混乱して時間を食ってしまいそうなら、これ以上は無理と判断して、
華麗にスルーするのも一策です。

仮にここをスルーしても、失う得点は多くても10点です。
この問題に必要以上に時間をかけて、あとの問題が解けなくなった場合の失点は
それ以上になるかも知れません。

センター試験のように、時間に対して問題数が多い試験の場合は、悩んでいると
あっという間に時間がなくなってしまいます。
ある程度の時点で見切りをつけるのも時には必要です。

ただ、実は見た目ほど難しくない場合もあるので、まずはしっかり条件を把握して
少し考える余裕が欲しいですね!


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 ◆5 p,q,rを再確認して

◆4で「スルーもあり」と言ったばかりですが、実はコレはよく考えれば誰でも
できる(はずの)問題です。

条件を再確認です。p,q,rは、

 p:三つの内角が全て異なる
 q:直角三角形でない
 r:45°の内角は一つもない

なので、(pまたはq)は(「三つの内角が全て異なる」または「直角三角形でない」)
を意味します。
rはそのまま「45°の内角は一つもない」です。

ということで・・・


(以下略)


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