第３問
(1) 数列{ｐn}は次を満たすとする。
ｐ1＝３，ｐn+1＝(１／３)ｐn＋１ (ｎ＝１，２，３，・・・) ・・・{1}
数列{ｐn}の一般項と、初項から第ｎ項までの和を求めよう。まず、{1}から
ｐn+1－[ア]／[イ]＝(１／３)(ｐn－[ア]／[イ]) (ｎ＝１，２，３，・・・)
となるので、数列{ｐn}の一般項は
ｐn＝１／[ウ]・[エ]^(n-2)＋[オ]／[カ]
である。したがって、自然数ｎに対して
Σ[k=1～n]ｐk＝([キ]／[ク])(１－１／[ケ]^n)＋[コ]ｎ／[サ]
である。
(2) 正の数からなる数列{ａn}は、初項から第３項がａ1＝３，ａ2＝３，ａ3＝３
であり、全ての自然数ｎに対して、
ａn+3＝(ａn＋ａn+1)／(ａn+2) ・・・{2}
を満たすとする。また、数列{ｂn}，{ｃn}を、自然数ｎに対して、ｂn＝ａ2n-1，
ｃn＝ａ2nで定める。数列{ｂn}，{ｃn}の一般項を求めよう。まず、{2}から
ａ4＝(ａ1＋ａ2)／ａ3＝[シ]，ａ5＝３，ａ6＝[ス]／[セ]，ａ7＝３
である。したがって、ｂ1＝ｂ2＝ｂ3＝ｂ4＝３となるので、
ｂn＝３ (ｎ＝１，２，３，・・・) ・・・{3}
と推定できる。
{3}を示すためには、ｂ1＝３から、すべての自然数ｎに対して
ｂn+1＝ｂn ・・・{4}
であることを示せばよい。このことを「まず、ｎ＝１のとき{4}が成り立つことを
示し、次に、ｎ＝ｋのとき{4}が成り立つと仮定すると、ｎ＝ｋ＋１のときも{4}
が成り立つことを示す方法」を用いて証明しよう。この方法を[ソ]という。[ソ]
に当てはまるものを、次の{0}～{3}のうちから一つ選べ。
{0} 組立除法 {1} 弧度法 {2} 数学的帰納法 {3} 背理法
[I] ｎ＝１のとき、ｂ1＝３，ｂ2＝３であることから{4}は成り立つ。
[II] ｎ＝ｋのとき、{4}が成り立つ、すなわち
ｂn+1＝ｂk ・・・{5}
と仮定する。ｎ＝ｋ＋１のとき、{2}のｎに２ｋを代入して得られる等式と、
２ｋ－１を代入して得られる等式から
ｂk+2＝(ｃk＋[タ]k+1)／[チ]k+1，ｃk+1＝([ツ]k＋ｃk)／[テ]k+1
となるので、ｂk+2は
ｂk+2＝{([ト]k＋[ナ]k+1)[ニ]k+1}／(ｂk＋ｃk)
と表される。したがって、{5}により、ｂk+2＝ｂk+1が成り立つので、{4}は
ｎ＝ｋ＋１のときにも成り立つ。
[I]，[II]により、すべての自然数ｎに対して{4}の成り立つことが証明された。
したがって、{3}が成り立つので、数列{ｂn}の一般項はｂn＝３である。
次に{2}のｎを２ｎ－１に置き換えて得られる等式と{3}から
ｃn+1＝(１／３)ｃn＋１ (ｎ＝１，２，３，・・・)
となり、ｃ1＝[ヌ]であることと{1}から、数列{ｃn}の一般項は、(1)で求めた
数列{ｐn}の一般項と等しくなることがわかる。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、数列{ａn}のｎ＋１項目はａn+1、
マル１は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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