今週は2017年の問題を取り上げ、来週から早速今年度の問題を解説します。
■ 問題
2017年センター試験数１Ａより
第１問
[3] ａを定数とし、
ｇ(ｘ)＝ｘ^2−２(３ａ^2＋５ａ)ｘ＋１８ａ^4＋３０ａ^3＋４９ａ^2＋１６
とおく。２次関数ｙ＝ｇ(ｘ)のグラフの頂点は
([セ]ａ^2＋[ソ]ａ，[タ]ａ^4＋[チツ]ａ^2＋[テト])
である。
ａが実数全体を動くとき、頂点のｘ座標の最小値は−[ナニ]／[ヌネ]である。
次にｔ＝ａ^2とおくと、頂点のｙ座標は
[タ]ｔ^2＋[チツ]ｔ＋[テト]
と表せる。
したがって、ａが実数全体を動くとき、頂点のｙ座標の最小値は[ノハ]である。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次
◆１ 素早くやり方を見抜くのが大切
◆２ 頂点なら平方完成
(以下略)
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■ 解説
(◆１は省略します)
◆２ 頂点なら平方完成
では今回の問題です。
２次関数ｇ(ｘ)の頂点を聞いています。
頂点と言えば平方完成！ですね。
自分の生徒には、一貫して「１行飛ばしてかっこの２乗を作る」という方法を
推奨しています。今回の式はやや複雑ですが、やってみましょう！
与式はコレです。
ｇ(ｘ)＝ｘ^2−２(３ａ^2＋５ａ)ｘ＋１８ａ^4＋３０ａ^3＋４９ａ^2＋１６
４乗などがありますが、基本通りにやれば必ずできます。
まず、１行とばしてかっこの２乗を作る
ｙ＝ｘ^2−２(３ａ^2＋５ａ)ｘ＋１８ａ^4＋３０ａ^3＋４９ａ^2＋１６
＝
＝{ｘ−(３ａ^2＋５ａ)}^2 ←−２(３ａ^2＋５ａ)の半分をかっこの中に
次に、２乗の展開をした式を、とばしたところに書く
ｙ＝ｘ^2−２(３ａ^2＋５ａ)ｘ＋１８ａ^4＋３０ａ^3＋４９ａ^2＋１６
＝ｘ^2−２(３ａ^2＋５ａ)ｘ＋(３ａ^2＋５ａ)^2 ←前半が１行目と同じ
＝{ｘ−(３ａ^2＋５ａ)}^2
２行目で新たに現れてしまった項を相殺する
ｙ＝ｘ^2−２(３ａ^2＋５ａ)ｘ＋１８ａ^4＋３０ａ^3＋４９ａ^2＋１６
＝ｘ^2−２(３ａ^2＋５ａ)ｘ＋(３ａ^2＋５ａ)^2−(３ａ^2＋５ａ)^2
＝{ｘ−(３ａ^2＋５ａ)}^2
１行目の定数部分を２行目にそのまま書く
ｙ＝ｘ^2−２(３ａ^2＋５ａ)ｘ＋１８ａ^4＋３０ａ^3＋４９ａ^2＋１６
＝ｘ^2−２(３ａ^2＋５ａ)ｘ＋(３ａ^2＋５ａ)^2−(３ａ^2＋５ａ)^2
＋１８ａ^4＋３０ａ^3＋４９ａ^2＋１６
＝{ｘ−(３ａ^2＋５ａ)}^2
かっこの２乗を作るために使われない定数項をそのまま３行目に書く
ｙ＝ｘ^2−２(３ａ^2＋５ａ)ｘ＋１８ａ^4＋３０ａ^3＋４９ａ^2＋１６
＝ｘ^2−２(３ａ^2＋５ａ)ｘ＋(３ａ^2＋５ａ)^2−(３ａ^2＋５ａ)^2
＋１８ａ^4＋３０ａ^3＋４９ａ^2＋１６
＝{ｘ−(３ａ^2＋５ａ)}^2−(３ａ^2＋５ａ)^2
＋１８ａ^4＋３０ａ^3＋４９ａ^2＋１６
あとは、定数項が計算できればする
ｙ＝ｘ^2−２(３ａ^2＋５ａ)ｘ＋１８ａ^4＋３０ａ^3＋４９ａ^2＋１６
＝ｘ^2−２(３ａ^2＋５ａ)ｘ＋(３ａ^2＋５ａ)^2−(３ａ^2＋５ａ)^2
＋１８ａ^4＋３０ａ^3＋４９ａ^2＋１６
＝{ｘ−(３ａ^2＋５ａ)}^2−(３ａ^2＋５ａ)^2
＋１８ａ^4＋３０ａ^3＋４９ａ^2＋１６
＝{ｘ−(３ａ^2＋５ａ)}^2−(９ａ^4＋３０ａ^3＋２５ａ^2)
＋１８ａ^4＋３０ａ^3＋４９ａ^2＋１６
＝{ｘ−(３ａ^2＋５ａ)}^2−９ａ^4−３０ａ^3−２５ａ^2
＋１８ａ^4＋３０ａ^3＋４９ａ^2＋１６
＝{ｘ−(３ａ^2＋５ａ)}^2＋９ａ^4＋２４ａ^2＋１６
計算が大変でしたが、これで解答の形式と同じになりました。完成ですね！
頂点が(ｐ，ｑ)のとき、ｙ＝ａ(ｘ−ｐ)^2＋ｑなので・・・
(以下略)
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