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【高校数学】読むだけでわかる！センター数学の考え方
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■ 問題
2018年センター試験数２Ｂより
第１問[1]
(1) １ラジアンとは、[ア]のことである。[ア]に当てはまるものを、次の{0}～{3}
のうちから一つ選べ。
{0} 半径が１，面積が１の扇形の中心角の大きさ
{1} 半径がπ，面積が１の扇形の中心角の大きさ
{2} 半径が１，弧の長さが１の扇形の中心角の大きさ
{3} 半径がπ，弧の長さが１の扇形の中心角の大きさ
(2) １４４°を弧度で表すと[イ]／[ウ]πラジアンである。また、(２３／１２)π
ラジアンを度で表すと[エオカ]°である。
(3) π／２≦θ≦πの範囲で
２ｓｉｎ(θ＋π／５)－２ｃｏｓ(θ＋π／３０)＝１ ……①
を満たすθの値を求めよう。
ｘ＝θ＋π／５とおくと、①は
２ｓｉｎｘ－２ｃｏｓ(ｘ－π／[キ])＝１
と表せる。加法定理を用いると、この式は
ｓｉｎｘ－√[ク]・ｃｏｓｘ＝１
となる。さらに、三角関数の合成を用いると
ｓｉｎ(ｘ－π／[ケ])＝１／[コ]
と変形できる。ｘ＝θ＋π／５，π／２≦θ≦πだから、θ＝[サシ]／[スセ]π
である。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マル１は{1}、マーク部分の□は[ ]で
表記しています。
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■ 解説目次
◆１ π＝１８０°
◆２ ラジアンは半径が１の円の弧の長さ
◆３ π＝１８０°を使って計算
◆４ π／３０をπ／５で表して・・・
◆５ ｃｏｓ(ｘ－π／６)に加法定理を用いて
◆６ 三角関数の合成は、加法定理から導ける
(以下略)
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■ 解説
(◆１～５は省略します)
◆６ 三角関数の合成は、加法定理から導ける
そして、今求めたｓｉｎｘ－√３・ｃｏｓｘ＝１という式を、
「三角関数の合成」を用いて変形します。
三角関数の合成は加法定理の応用で、サインとコサインがともに１次式の場合に
サインだけにまとめることができる便利な方法です。
★ ａ・ｓｉｎｘ＋ｂ・ｃｏｓｘ＝{√(ａ^2＋ｂ^2)}ｓｉｎ(ｘ＋α)
サインの加法定理の公式を左右逆にして、分数にならないように係数を調整した
ものだと理解することができます。
サインの加法定理は
★ ｓｉｎ(α＋β)＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ
で、α＝ｘ，β＝αと置き換えれば、
ｓｉｎ(ｘ＋α)＝ｓｉｎｘｃｏｓα＋ｃｏｓｘｓｉｎα
となります。
ここで・・・
(以下略)
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