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【高校数学】読むだけでわかる！センター数学の考え方
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■ 問題
2018年センター試験数２Ｂより
第１問
[2] ｃを正の定数として、不等式
ｘ^(log[3]x)≧(ｘ／ｃ)^3 ……{2}
を考える。
３を底とする{2}の両辺の対数をとり、ｔ＝ｌｏｇ[3]ｘとおくと
ｔ^[ソ]－[タ]ｔ＋[タ]ｌｏｇ[3]ｃ≧０ ……{3}
となる。ただし、対数ｌｏｇ[a]ｂに対し、ａを底といい、ｂを真数という。
ｃ＝(９の３乗根)のとき、{2}を満たすｘの値に範囲を求めよう。{3}により
ｔ≦[チ]，ｔ≧[ツ]
である。さらに、真数の条件を考えて
[テ]＜ｘ≦[ト]，ｘ≧[ナ]
となる。
次に、{2}がｘ＞[テ]の範囲でつねに成り立つようなｃの値の範囲を求めよう。
ｘがｘ＞[テ]の範囲を動くとき、ｔのとり得る値の範囲は[ニ]である。
[ニ]に当てはまるものを、次の{0}～{3}のうちから一つ選べ。
{0} 正の実数全体 {1} 負の実数全体
{2} 実数全体 {3} １以外の実数全体
この範囲のｔに対して、{3}がつねに成り立つための必要十分条件は、
ｌｏｇ[3]ｃ≧[ヌ]／[ネ]である。すなわち、ｃ≧([ハヒ]の[ノ]乗根)である。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マル１は{1}、マーク部分の□は[ ]で
表記しています。
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■ 解説目次
◆１ 分数の指数の計算
◆２ 指数・対数の関係
◆３ 対数の計算法則
◆４ 「対数をとり」とあるので「対数をとる」
◆５ 真数の指数は対数の係数
(以下略)
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■ 解説
(◆１～３は省略します)
◆４ 「対数をとり」とあるので「対数をとる」
では今回の問題です。
ｃを正の定数として、不等式「ｘ^(log[3]x)≧(ｘ／ｃ)^3」を考えます。
この式の次に、やるべきことの指示があります。
「３を底とする{2}の両辺の対数をとり」とありますね。
慣れていない人には「それって美味しいの？」レベルの意味不明さかも知れません
が、センター試験では「とにかく誘導の通りにやる」ことが大切です。
ｌｏｇ[3]{ｘ^(log[3]x)}≧ｌｏｇ[3]{(ｘ／ｃ)^3}
「３を底とする{2}の両辺の対数」をとっただけです。
そのように指示があるので、そうやればＯＫです(笑)
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◆５ 真数の指数は対数の係数
そう言われても「んで？どうすれば良いの？」と思う人も多いと思います。
すぐには気付かない人も多いですが、実は簡単です(笑)
できた式は対数の式なので、対数の計算法則を使えば良いのです。
ｌｏｇ[3]{ｘ^(log[3]x)}は、真数がｘ^(log[3]x)です。
「真数の指数は対数の係数」なので、log[3]xがもとの対数の係数になります。
つまり・・・
ｌｏｇ[3]{ｘ^(log[3]x)}＝ｌｏｇ[3]ｘ・ｌｏｇ[3]ｘ
「ｔ＝ｌｏｇ[3]ｘとおく」とあるので・・・
(以下略)
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