先月実施されたばかりの2018年の問題を解説します。
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【高校数学】読むだけでわかる！センター数学の考え方
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■ 問題
2018年センター試験数２Ｂより
第１問
[2] ｃを正の定数として、不等式
ｘ^(log[3]x)≧(ｘ／ｃ)^3 ……{2}
を考える。
３を底とする{2}の両辺の対数をとり、ｔ＝ｌｏｇ[3]ｘとおくと
ｔ^[ソ]−[タ]ｔ＋[タ]ｌｏｇ[3]ｃ≧０ ……{3}
となる。ただし、対数ｌｏｇ[a]ｂに対し、ａを底といい、ｂを真数という。
ｃ＝(９の３乗根)のとき、{2}を満たすｘの値に範囲を求めよう。{3}により
ｔ≦[チ]，ｔ≧[ツ]
である。さらに、真数の条件を考えて
[テ]＜ｘ≦[ト]，ｘ≧[ナ]
となる。
次に、{2}がｘ＞[テ]の範囲でつねに成り立つようなｃの値の範囲を求めよう。
ｘがｘ＞[テ]の範囲を動くとき、ｔのとり得る値の範囲は[ニ]である。
[ニ]に当てはまるものを、次の{0}〜{3}のうちから一つ選べ。
{0} 正の実数全体 {1} 負の実数全体
{2} 実数全体 {3} １以外の実数全体
この範囲のｔに対して、{3}がつねに成り立つための必要十分条件は、
ｌｏｇ[3]ｃ≧[ヌ]／[ネ]である。すなわち、ｃ≧([ハヒ]の[ノ]乗根)である。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マル１は{1}、マーク部分の□は[ ]で
表記しています。
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■ 解説目次
◆１ 分数の指数の計算
◆２ 指数・対数の関係
◆３ 対数の計算法則
◆４ 「対数をとり」とあるので「対数をとる」
◆５ 真数の指数は対数の係数
◆６ 真数の分数は対数の引き算
◆７ {3}はｔの２次不等式
(以下略)
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■ 解説
(◆１〜６は省略します)
◆７ {3}はｔの２次不等式
次の問題では、ｃの条件が与えられています。
「ｃ＝(９の３乗根)」のとき、{2}を満たすｘの値の範囲を求めていきます。
先ほど求めた{3}の式「ｔ^2−３ｔ＋３ｌｏｇ[3]ｃ≧０」にｃ＝(９の３乗根)を
代入して、
ｔ^2−３ｔ＋３ｌｏｇ[3](９の３乗根)≧０
あとはコレを計算すればｔの範囲がわかりそうです。やってみましょう！
ｔ^2−３ｔ＋３ｌｏｇ[3]９^(1/3)≧０
ｔ^2−３ｔ＋３ｌｏｇ[3]３^(2/3)≧０ ←９＝３^2
ｔ^2−３ｔ＋３・(２／３)ｌｏｇ[3]３≧０ ←真数の指数は対数の係数
ｔ^2−３ｔ＋２≧０ ←ｌｏｇ[3]３＝１
(ｔ−１)(ｔ−２)≧０
よって、ｔ≦１，ｔ≧２
つまり、[チ]＝１，[ツ]＝２
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◆８ 真数は０より大きい
そして「真数の条件を考えて」ｘの範囲を求めます。
ｔ＝ｌｏｇ[3]ｘなので、真数はｘです。
底が３だから真数は必ず正の数になります。
つまり・・・
(以下略)
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