先月実施されたばかりの2018年の問題を解説します。
皆さん引き続きよろしくお願いします！
ここでは、まぐまぐ！様より月額540円で配信中の
【高校数学】読むだけでわかる！センター数学の考え方
http://www.mag2.com/m/0001641004.html
の冒頭部分を配信していきます。
まずは雰囲気を掴んでいただければ幸いです。
リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。
■ 問題
2018年センター試験数２Ｂより
第１問
[2] ｃを正の定数として、不等式
ｘ^(log[3]x)≧(ｘ／ｃ)^3 ……{2}
を考える。
３を底とする{2}の両辺の対数をとり、ｔ＝ｌｏｇ[3]ｘとおくと
ｔ^[ソ]－[タ]ｔ＋[タ]ｌｏｇ[3]ｃ≧０ ……{3}
となる。ただし、対数ｌｏｇ[a]ｂに対し、ａを底といい、ｂを真数という。
ｃ＝(９の３乗根)のとき、{2}を満たすｘの値に範囲を求めよう。{3}により
ｔ≦[チ]，ｔ≧[ツ]
である。さらに、真数の条件を考えて
[テ]＜ｘ≦[ト]，ｘ≧[ナ]
となる。
次に、{2}がｘ＞[テ]の範囲でつねに成り立つようなｃの値の範囲を求めよう。
ｘがｘ＞[テ]の範囲を動くとき、ｔのとり得る値の範囲は[ニ]である。
[ニ]に当てはまるものを、次の{0}～{3}のうちから一つ選べ。
{0} 正の実数全体 {1} 負の実数全体
{2} 実数全体 {3} １以外の実数全体
この範囲のｔに対して、{3}がつねに成り立つための必要十分条件は、
ｌｏｇ[3]ｃ≧[ヌ]／[ネ]である。すなわち、ｃ≧([ハヒ]の[ノ]乗根)である。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マル１は{1}、マーク部分の□は[ ]で
表記しています。
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■ 解説目次
◆１ 分数の指数の計算
◆２ 指数・対数の関係
◆３ 対数の計算法則
◆４ 「対数をとり」とあるので「対数をとる」
◆５ 真数の指数は対数の係数
◆６ 真数の分数は対数の引き算
◆７ {3}はｔの２次不等式
◆８ 真数は０より大きい
◆９ 真数が正でも、対数は負のときもある
(以下略)
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■ 解説
(◆１～８は省略します)
◆９ 真数が正でも、対数は負のときもある
次に「{2}がｘ＞[テ]の範囲でつねに成り立つようなｃの値の範囲を求めよう」
とあります。[テ]＝０なので、ｘ＞０の範囲で{2}が成り立つ場合を考えます。
ここで闇雲に進めようとしても訳わからなくなると思います。そんなときは、
改めて設問の内容を確認するとよいです。
{2}は「ｘ^(log[3]x)≧(ｘ／ｃ)^3」で、これを変形して、
「ｔ^2－３ｔ＋３ｌｏｇ[3]ｃ≧０」が得られましたね。
そして「ｔ＝ｌｏｇ[3]ｘ」です。
問題文に書いてあることと、ここまでに求めたことを整理しただけですが、
次の設問がどうなるかわかりやすくなった気がしませんか？
次は「ｔのとり得る値の範囲」を聞いています。
ｔ＝ｌｏｇ[3]ｘで、ｘ＞０なので、ｔの値は{2}実数全体となります。
ｘが３以上の数ならば１より大きい数になりますが、たとえば・・・
(以下略)
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