先月実施されたばかりの2018年の問題を解説します。
皆さん引き続きよろしくお願いします!
まぐまぐ!様より月額540円で配信中の
【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
http://www.mag2.com/m/0001641004.html
の冒頭部分を配信していきます。
まずは雰囲気を掴んでいただければ幸いです。
リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。
■ 問題
2018年センター試験数2Bより
第2問
[1] p>0とする。座標平面上の放物線y=px^2+qx+rをCとし、
直線y=2x−1をlとする。Cは点A(1,1)においてlと接しているとする。
(1) qとrを、pを用いて表そう。放物線C上の点Aにおける接線lの傾きは
[ア]であることから、q=[イウ]p+[エ]がわかる。さらに、Cは点Aを通る
ことから、r=p−[オ]となる。
(2) v>1とする。放物線Cと直線および直線x=vで囲まれた図形の面積Sは
S=(p/[カ])(v^3−[キ]v^2+[ク]v−[ケ])である。
また、x軸とlおよび2直線x=1,x=vで囲まれた図形の面積Tは、
T=v^[コ]−vである。
U=S−Tはv=2で極値をとるとする。このとき、p=[サ]であり、v>1の
範囲でU=0となるvの値をv0とすると、v0=([シ]+√[ス])/[セ]である。
1<v<v0の範囲でUは[ソ]。
[ソ]に当てはまるものを、次の{0}〜{4}のうちから一つ選べ。
{0} つねに増加する {1} つねに減少する {2} 正の値のみをとる
{3} 負の値のみをとる {4} 正と負のどちらの値もとる
p=[サ]のとき、v>1におけるUの最小値は[タチ]である。
[ 2 ] 関数f(x)はx≧1の範囲でつねにf(x)≦0を満たすとする。t>1の
とき、曲線y=f(x)とx軸および2直線x=1,x=tで囲まれた図形の面積を
Wとする。tがt>1の範囲を動くとき、Wは、底辺の長さが2t^2−2,他の
2辺の長さがそれぞれt^2+1の二等辺三角形の面積とつねに等しいとする。
このとき、x>1におけるf(x)を求めよう。
F(x)をf(x)の不定積分とする。一般に、F'(x)=[ツ],W=[テ]が成り
立つ。[ツ],[テ]に当てはまるものを、次の{0}〜{8}のうちから一つずつ選べ。
ただし、同じものを選んでもよい。
{0} −F(t) {1} F(t) {2} F(t)−F(1)
{3} F(t)+F(1) {4} −F(t)+F(1) {5} −F(t)−F(1)
{6} −f(x) {7} f(x) {8} f(x)−f(1)
したがって、t>1において
f(t)=[トナ]t^[ニ]+[ヌ]
である。よって、x>1におけるf(x)がわかる。
※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記して
います。
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■ 解説目次
◆1 導関数は傾きを表す
◆2 極値では導関数の値(=微分係数)が0
◆3 積分は微分の逆
◆4 数学でも文章の言い換えをしてみる
◆5 y=ax+bのaが傾き
(以下略)
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■ 解説
(◆1〜3は省略します)
◆4 数学でも文章の言い換えをしてみる
前置きはこの辺にして、今回の問題です。
[1] p>0とする。座標平面上の放物線y=px^2+qx+rをCとし、
直線y=2x−1をlとする。Cは点A(1,1)においてlと接しているとする。
このようにあります。
p>0の放物線y=px^2+qx+rがあり、これをCとしているようです。
そして直線y=2x−1があり、これをlとしています。
lはA(1,1)におけるCの接線らしいです。
まずは問題文に書いてあることを確認してみました。
ただ単に書いてあることをなぞるだけでなく、今ここでやってみたように、
自分なりに言い換えたりすると、内容がよくわかると思います。
皆さんもぜひ試してみてくださいね!
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◆5 y=ax+bのaが傾き
内容がよくわかったところで、(1)にいってみましょう!
(1) qとrを、pを用いて表そう。放物線C上の点Aにおける接線lの傾きは
[ア]であることから、q=[イウ]p+[エ]がわかる。さらに、Cは点Aを通る
ことから、r=p−[オ]となる。
このように書いてあります。
「放物線C上の点Aにおける接線lの傾き」と言っています。
接線lはy=2x−1です。
中学の数学でやったように、直線はy=ax+bの形で・・・
(以下略)
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