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【高校数学】読むだけでわかる！センター数学の考え方
http://www.mag2.com/m/0001641004.html
の冒頭部分を配信していきます。
まずは雰囲気を掴んでいただければ幸いです。
リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。
■ 問題
2018年センター試験数２Ｂより
第２問
[1] ｐ＞０とする。座標平面上の放物線ｙ＝ｐｘ^2＋ｑｘ＋ｒをＣとし、
直線ｙ＝２ｘ－１をｌとする。Ｃは点Ａ(１，１)においてｌと接しているとする。
(1) ｑとｒを、ｐを用いて表そう。放物線Ｃ上の点Ａにおける接線ｌの傾きは
[ア]であることから、ｑ＝[イウ]ｐ＋[エ]がわかる。さらに、Ｃは点Ａを通る
ことから、ｒ＝ｐ－[オ]となる。
(2) ｖ＞１とする。放物線Ｃと直線および直線ｘ＝ｖで囲まれた図形の面積Ｓは
Ｓ＝(ｐ／[カ])(ｖ^3－[キ]ｖ^2＋[ク]ｖ－[ケ])である。
また、ｘ軸とｌおよび２直線ｘ＝１，ｘ＝ｖで囲まれた図形の面積Ｔは、
Ｔ＝ｖ^[コ]－ｖである。
Ｕ＝Ｓ－Ｔはｖ＝２で極値をとるとする。このとき、ｐ＝[サ]であり、ｖ＞１の
範囲でＵ＝０となるｖの値をｖ0とすると、ｖ0＝([シ]＋√[ス])／[セ]である。
１＜ｖ＜ｖ0の範囲でＵは[ソ]。
[ソ]に当てはまるものを、次の{0}～{4}のうちから一つ選べ。
{0} つねに増加する {1} つねに減少する {2} 正の値のみをとる
{3} 負の値のみをとる {4} 正と負のどちらの値もとる
ｐ＝[サ]のとき、ｖ＞１におけるＵの最小値は[タチ]である。
[ 2 ] 関数ｆ(ｘ)はｘ≧１の範囲でつねにｆ(ｘ)≦０を満たすとする。ｔ＞１の
とき、曲線ｙ＝ｆ(ｘ)とｘ軸および２直線ｘ＝１，ｘ＝ｔで囲まれた図形の面積を
Ｗとする。ｔがｔ＞１の範囲を動くとき、Ｗは、底辺の長さが２ｔ^2－２，他の
２辺の長さがそれぞれｔ^2＋１の二等辺三角形の面積とつねに等しいとする。
このとき、ｘ＞１におけるｆ(ｘ)を求めよう。
Ｆ(ｘ)をｆ(ｘ)の不定積分とする。一般に、Ｆ'(ｘ)＝[ツ]，Ｗ＝[テ]が成り
立つ。[ツ]，[テ]に当てはまるものを、次の{0}～{8}のうちから一つずつ選べ。
ただし、同じものを選んでもよい。
{0} －Ｆ(ｔ) {1} Ｆ(ｔ) {2} Ｆ(ｔ)－Ｆ(１)
{3} Ｆ(ｔ)＋Ｆ(１) {4} －Ｆ(ｔ)＋Ｆ(１) {5} －Ｆ(ｔ)－Ｆ(１)
{6} －ｆ(ｘ) {7} ｆ(ｘ) {8} ｆ(ｘ)－ｆ(１)
したがって、ｔ＞１において
ｆ(ｔ)＝[トナ]ｔ^[ニ]＋[ヌ]
である。よって、ｘ＞１におけるｆ(ｘ)がわかる。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記して
います。
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■ 解説目次
◆１ 導関数は傾きを表す
◆２ 極値では導関数の値(＝微分係数)が０
◆３ 積分は微分の逆
◆４ 数学でも文章の言い換えをしてみる
◆５ ｙ＝ａｘ＋ｂのａが傾き
◆６ 導関数は傾きを表す
◆７ 文字を消すには代入
(以下略)
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■ 解説
(◆１～５は省略します)
◆６ 導関数は傾きを表す
今◆５で、直線ｌの傾きが２であることがわかりました。
そして、曲線の式を微分してできる導関数は、接線の傾きを表す関数です。
直線ｌはＣの接線なので、「与式を微分してイコール２」で方程式を作ることが
できますね！
まずは微分してみましょう！
ｙ＝ｐｘ^2＋ｑｘ＋ｒ
ｙ'＝２ｐｘ＋ｑ
これが接線の傾きを表すので、「イコール２」とします。
ｙ'＝２ｐｘ＋ｑ＝２
さらに、「Ｃは点Ａ(１，１)においてｌと接している」ので、Ａ(１，１)を代入
します。
２ｐ×１＋ｑ＝２
ｑ＝－２ｐ＋２
これで目標の形になりました！
よって、[イウ]＝－２，[エ]＝２
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◆７ 文字を消すには代入
「Ｃは点Ａを通る」とあるので、点Ａの座標はＣに代入できます。
Ｃ：ｙ＝ｐｘ^2＋ｑｘ＋ｒにＡ(１，１)を代入して、
１＝ｐ＋ｑ＋ｒ
このような式ができました。
目標の形は「ｒ＝ｐ－[オ]」です。
よく見ると(よく見なくても)、ｑがなくなっていますね。
つまり・・・
(以下略)
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