【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
http://www.mag2.com/m/0001641004.html
の冒頭部分を配信していきます。
まずは雰囲気を掴んでいただければ幸いです。
リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。
■ 問題
2018年センター試験数1Aより
第2問
[2] ある陸上大会に出場した選手の身長(単位はcm)と体重(単位はkg)のデータが
得られた。男子短距離、男子長距離、女子短距離、女子長距離の四つのグループに
分けると、それぞれのグループの選手数は、男子短距離が328人、男子長距離が271
人、女子短距離が319人、女子長距離が263人である。
(1) 次ページの図1および図2は、男子短距離、男子長距離、女子短距離、女子
長距離の四つのグループにおける、身長のヒストグラムおよび箱ひげ図である。
次の[サ]、[シ]に当てはまるものを、下の{0}〜{6}のうちから一つずつ選べ。
ただし、解答の順序は問わない。
図1および図2から読み取れる内容として正しいものは、[サ]、[シ]である。
{0} 四つのグループのうちで範囲が大きいのは、女子短距離グループである。
{1} 四つのグループのすべてにおいて、四分位範囲は12未満である。
{2} 男子長距離グループのヒストグラムでは、度数最大の階級に中央値が入って
いる。
{3}女子長距離グループのヒストグラムでは、度数最大の階級に第1四分位数が
入っている。
{4} すべての選手の中で最も身長の高い選手は、男子長距離グループの中にいる。
{5} すべての選手の中で最も身長の低い選手は、女子長距離グループの中にいる。
{6} 男子短距離グループの中央値と男子長距離グループの第3四分位数は、ともに
180以上182未満である。
図1,図2
http://www.a-ema.com/img/center2018math1a22a.png
(2) 身長をH,体重をWとし、XをX=(H/100)^2で、ZをZ=W/Xで定義
する。次ページの図3は、男子短距離、男子長距離、女子短距離、女子長距離の
四つのグループにおけるXとWのデータの散布図である。ただし、原点を通り、
傾きが15, 20, 25, 30である四つの直線l1, l2, l3, l4も補助的に描いて
いる。また、次ページの図4の(a), (b), (c), (d)で示すZの四つの箱ひげ図は、
男子短距離、男子長距離、女子短距離、女子長距離の四つのグループのいずれかの
箱ひげ図に対応している。
次の[ス],[セ]に当てはまるものを、下の{0}〜{5}のうちから一つずつ選べ。
ただし、解答の順序は問わない。
図3および図4から読み取れる内容として正しいものは、[ス],[セ]である。
{0} 四つのグループのすべてにおいて、XとWには負の相関がある。
{1} 四つのクループのうちでZの中央値が一番大きいのは、男子長距離グループ
である。
{2} 四つのグループのうちでZの範囲が最小なのは、男子長距離グループである。
{3} 四つのグループのうちでZの四分位範囲が最小なのは、男子短距離グループ
である。
{4} 女子長距離グループのすべてのZの値は25より小さい。
{5} 男子長距離グループのZの箱ひげ図は(c)である。
図3,図4
http://www.a-ema.com/img/center2018math1a22b.png
(3) nを自然数とする。実数値のデータx1, x2, …, xnおよびw1, w2, …, wn
に対して、それぞれの平均値を
_ _
x=(x1+x2+…+xn)/n,w=(w1+w2+…+wn)/n
_ __
とおく。等式(x1+x2+…+xn)w=nxwなどに注意すると、偏差の積の和は
_ _ _ _ _ _
(x1−x)(w1−w)+(x2−x)(w2−w)+…+(xn−x)(wn−w)
=x1w1+x2w2+…+xnwn−[ソ]
となることがわかる。[ソ]に当てはまるものを、次の{0}〜{3}のうちから一つ選べ。
__ __ __ __
{0} xw {1} (xw)^2 {2} nxw {3} n^2・xw
※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次
◆1 2017年も第2問は「三角比」「データの分析」
◆2 問題長いです(笑)
◆3 四分位数と範囲、箱ひげ図の基本
◆4 箱ひげ図で最大最小、四分位数等を読み取って
◆5 負の相関は右下がり
◆6 傾きは「縦/横」だから・・・
(以下略)
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■ 解説
◆1〜4は省略します。
◆5 負の相関は右下がり
次は(2)です。
(2) 身長をH,体重をWとし、XをX=(H/100)^2で、ZをZ=W/Xで定義
する。次ページの図3は、男子短距離、男子長距離、女子短距離、女子長距離の
四つのグループにおけるXとWのデータの散布図である。ただし、原点を通り、
傾きが15, 20, 25, 30である四つの直線l1, l2, l3, l4も補助的に描いて
いる。また、次ページの図4の(a), (b), (c), (d)で示すZの四つの箱ひげ図は、
男子短距離、男子長距離、女子短距離、女子長距離の四つのグループのいずれかの
箱ひげ図に対応している。
このような設定で、図3,図4と矛盾がない選択肢を2つ選ぶ問題となっています。
まずは最初の選択肢を見てみましょう!
{0} 四つのグループのすべてにおいて、XとWには負の相関がある。
→負の相関があるときは、データの分布が右下がりの直線に近い形になります。
このデータは全て右上がりの直線に近い形になっているので、正の相関がある。
と考えられます。
つまり不適切。
{0}は、どれがどれかあまり気にしなくても、合っているかどうか簡単にわかり
ましたが、次からはもう少ししっかり考えた方が良いです。
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◆6 傾きは「縦/横」だから・・・
次の選択肢を検討する前に、それぞれの文字の意味を確認しておきましょう!
まずWは体重ですね。
Xは、X=(H/100)^2の式で表されています。
Hは身長cmなので、H/100はメートルで表した身長です。
つまり、Xは身長の2乗というイメージで大丈夫です。
そしてZは、W/Xで表されます。
つまり、体重を身長の2乗で割ったものです。太っているか痩せているかを判断
する基準の一つですね。
散布図では、横軸にX,縦軸にWを取ってあるので、上に行くほど体重が重く、
右に行くほど身長が高いことがわかります。
l1〜l4の直線は、この散布図上に描かれた、傾きが15〜30の直線です。
傾きは縦/横、Z=W/Xなので・・・
(以下略)
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発行者 江間淳(EMA Atsushi)
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