【高校数学】読むだけでわかる！センター数学の考え方
http://www.mag2.com/m/0001641004.html
の冒頭部分を配信していきます。
まずは雰囲気を掴んでいただければ幸いです。
リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。
■ 問題
2018年センター試験数２Ｂより
第２問
[ 2 ] 関数ｆ(ｘ)はｘ≧１の範囲でつねにｆ(ｘ)≦０を満たすとする。ｔ＞１の
とき、曲線ｙ＝ｆ(ｘ)とｘ軸および２直線ｘ＝１，ｘ＝ｔで囲まれた図形の面積を
Ｗとする。ｔがｔ＞１の範囲を動くとき、Ｗは、底辺の長さが２ｔ^2−２，他の
２辺の長さがそれぞれｔ^2＋１の二等辺三角形の面積とつねに等しいとする。
このとき、ｘ＞１におけるｆ(ｘ)を求めよう。
Ｆ(ｘ)をｆ(ｘ)の不定積分とする。一般に、Ｆ'(ｘ)＝[ツ]，Ｗ＝[テ]が成り
立つ。[ツ]，[テ]に当てはまるものを、次の{0}〜{8}のうちから一つずつ選べ。
ただし、同じものを選んでもよい。
{0} −Ｆ(ｔ) {1} Ｆ(ｔ) {2} Ｆ(ｔ)−Ｆ(１)
{3} Ｆ(ｔ)＋Ｆ(１) {4} −Ｆ(ｔ)＋Ｆ(１) {5} −Ｆ(ｔ)−Ｆ(１)
{6} −ｆ(ｘ) {7} ｆ(ｘ) {8} ｆ(ｘ)−ｆ(１)
したがって、ｔ＞１において
ｆ(ｔ)＝[トナ]ｔ^[ニ]＋[ヌ]
である。よって、ｘ＞１におけるｆ(ｘ)がわかる。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記して
います。
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■ 解説目次
◆１ 導関数は傾きを表す
◆２ 極値では導関数の値(＝微分係数)が０
◆３ 積分は微分の逆
◆４ ｆ(ｘ)はどんな関数？
◆５ 面積は「上引く下で定積分」
◆６ 二等辺三角形は直角三角形に分けられる
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■ 解説
(◆１〜５は省略します)
◆６ 二等辺三角形は直角三角形に分けられる
最後は、ここまでわかったことを利用して、ｆ(ｔ)の値を求めます。
今◆５で求めたように、Ｆ'(ｘ)＝ｆ(ｘ)，Ｗ＝−Ｆ(ｔ)＋Ｆ(１)なので、Ｗを式で
表すことができれば、ｆ(ｔ)もわかる。と考えられます。
Ｗの条件を改めて確認すると、
「Ｗは、底辺の長さが２ｔ^2−２，他の２辺の長さがそれぞれｔ^2＋１の
二等辺三角形の面積とつねに等しい」
とあります。
★二等辺三角形は、頂点から底辺に垂線を下ろすと底辺を二等分するという性質が
あるので、Ｗと等しい二等辺三角形の高さを出すことができます。
まず底辺を二等分して(２ｔ^2−２)÷２＝ｔ^2−１
垂線は二等辺三角形を合同な２つの直角三角形に分けるので、三平方の定理を
用いて、
高さ＝√{(ｔ^2＋１)^2−(ｔ^2−１)^2}
＝√(ｔ^4＋２ｔ^2＋１−ｔ^4＋２ｔ^2−１)
＝√(４ｔ^2)
＝２ｔ
よって、二等辺三角形の高さは２ｔであることがわかりました。
高さは２ｔ，底辺が２ｔ^2−２なので・・・
(以下略)
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