2018年04月13日

本日配信のメルマガ。2018年センター数学2B第2問[2] 積分

本日配信のメルマガでは、2018年大学入試センター試験数学2B第2問[2]を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
 http://www.mag2.com/m/0001641004.html

の冒頭部分を配信していきます。
まずは雰囲気を掴んでいただければ幸いです。


リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。


■ 問題

2018年センター試験数2Bより

第2問

[ 2 ] 関数f(x)はx≧1の範囲でつねにf(x)≦0を満たすとする。t>1の
とき、曲線y=f(x)とx軸および2直線x=1,x=tで囲まれた図形の面積を
Wとする。tがt>1の範囲を動くとき、Wは、底辺の長さが2t^2−2,他の
2辺の長さがそれぞれt^2+1の二等辺三角形の面積とつねに等しいとする。
このとき、x>1におけるf(x)を求めよう。

 F(x)をf(x)の不定積分とする。一般に、F'(x)=[ツ],W=[テ]が成り
立つ。[ツ],[テ]に当てはまるものを、次の{0}〜{8}のうちから一つずつ選べ。
ただし、同じものを選んでもよい。

{0} −F(t)  {1} F(t)  {2} F(t)−F(1)
{3} F(t)+F(1)  {4} −F(t)+F(1)  {5} −F(t)−F(1)
{6} −f(x)  {7} f(x)  {8} f(x)−f(1)

したがって、t>1において

  f(t)=[トナ]t^[ニ]+[ヌ]

である。よって、x>1におけるf(x)がわかる。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記して
います。


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■ 解説目次

 ◆1 導関数は傾きを表す
 ◆2 極値では導関数の値(=微分係数)が0
 ◆3 積分は微分の逆
 ◆4 f(x)はどんな関数?
 ◆5 面積は「上引く下で定積分」
 ◆6 二等辺三角形は直角三角形に分けられる

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■ 解説

(◆1〜5は省略します)


 ◆6 二等辺三角形は直角三角形に分けられる

最後は、ここまでわかったことを利用して、f(t)の値を求めます。

今◆5で求めたように、F'(x)=f(x),W=−F(t)+F(1)なので、Wを式で
表すことができれば、f(t)もわかる。と考えられます。

Wの条件を改めて確認すると、

「Wは、底辺の長さが2t^2−2,他の2辺の長さがそれぞれt^2+1の
二等辺三角形の面積とつねに等しい」

とあります。

★二等辺三角形は、頂点から底辺に垂線を下ろすと底辺を二等分するという性質が
あるので、Wと等しい二等辺三角形の高さを出すことができます。

まず底辺を二等分して(2t^2−2)÷2=t^2−1

垂線は二等辺三角形を合同な2つの直角三角形に分けるので、三平方の定理を
用いて、

高さ=√{(t^2+1)^2−(t^2−1)^2}
  =√(t^4+2t^2+1−t^4+2t^2−1)
  =√(4t^2)
  =2t

よって、二等辺三角形の高さは2tであることがわかりました。

高さは2t,底辺が2t^2−2なので・・・


(以下略)


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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ラベル:数学 微分積分
posted by えま at 16:42| Comment(0) | メルマガ | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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