【高校数学】読むだけでわかる！センター数学の考え方
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■ 問題
2018年センター試験数２Ｂより
第４問
ａを０＜ａ＜１を満たす定数とする。三角形ＡＢＣを考え、辺ＡＢを１：３に
内分する点をＤ，辺ＢＣをａ：(１−ａ)に内分する点をＥ，直線ＡＥと直線ＣＤの
交点をＦとする。→ＦＡ＝→ｐ，→ＦＢ＝→ｑ，→ＦＣ＝→ｒとおく。
→
(1) ＡＢ＝[ア]であり
→ → → → →
|ＡＢ|^2＝|ｐ|^2−[イ]ｐ・ｑ＋|ｑ|^2 ……{1}
である。ただし、[ア]については、当てはまるものを、次の{0}〜{3}のうちから
一つ選べ。
→ → → → → → → →
{0} ｐ＋ｑ {1} ｐ−ｑ {2} ｑ−ｐ {3} −ｐ−ｑ
→ → →
(2) ＦＤをｐとｑを用いて表すと
→ → →
ＦＤ＝([ウ]／[エ])ｐ＋([オ]／[カ])ｑ ……{2}
である。
→ → → →
(3) ｓ，ｔをそれぞれＦＤ＝ｓｒ，ＦＥ＝ｔｐとなる実数とする。ｓとｔをａを
用いて表そう。
→ →
ＦＤ＝ｓｒであるから、{2}により
→ → →
ｑ＝[キク]ｐ＋[ケ]ｓｒ ……{3}
→ →
である。また、ＦＥ＝ｔｐであるから
→ → →
ｑ＝{ｔ／([コ]−[サ])}ｐ−{[シ]／([コ]−[サ])}ｒ ……{4}
である。{3}と{4}により
→ →
ｓ＝[スセ]／[ソ]([コ]−[サ])，ｔ＝[タチ]([コ]−[サ])
である。
→ → → → →
(4) |ＡＢ|＝|ＢＥ|とする。|ｐ|＝１のとき、ｐとｑの内積をａを用いて表そう。
{1}により
→ → → →
|ＡＢ|^2＝１−[イ]ｐ・ｑ＋|ｑ|^2
である。また
→
|ＢＥ|^2＝[ツ]([コ]−[サ])^2 → → →
＋[テ]([コ]−[サ])ｐ・ｑ＋|ｑ|^2
である。したがって
→ →
ｐ・ｑ＝([トナ]−[ニ])／[ヌ]
である。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2で、ベクトルの矢印は一部省略、
マル１は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次
◆１ ベクトルの成分と大きさ
◆２ ベクトルの足し算とかけ算
◆３ Ｆが中心のようなイメージ
◆４ →ＡＢはＡからＢまでいく
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■ 解説
(◆１〜５は省略します)
◆３ Ｆが中心のようなイメージ
では、今回の問題です。
ぜひ図を描いて照らし合わせながら読んでいってみてください。
ａを０＜ａ＜１を満たす定数とする。三角形ＡＢＣを考え、辺ＡＢを１：３に
内分する点をＤ，辺ＢＣをａ：(１−ａ)に内分する点をＥ，直線ＡＥと直線ＣＤの
交点をＦとする。→ＦＡ＝→ｐ，→ＦＢ＝→ｑ，→ＦＣ＝→ｒとおく。
まずはこのような設定です。
三角形ＡＢＣがあり、ＡＢ上にＤが、ＢＣ上にＥがあります。
ＡＥとＣＤを引いて、その交点がＦです。
このＦが中心のようなイメージで、→ＦＡ＝→ｐ，→ＦＢ＝→ｑ，→ＦＣ＝→ｒ
とおいています。
どんな図なのか把握できましたか？
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◆４ →ＡＢはＡからＢまでいく
最初の設問です。
→
(1) ＡＢ＝[ア]であり
ここだけ見て、「アレ？ＡＢの長さなんて書いてないしわからない！無理！」
となってしまった人はいませんか？
次に少し複雑そうに見える式が書いてありますが、続きをしっかり読んでいき
ましょう！
→ → → → →
|ＡＢ|^2＝|ｐ|^2−[イ]ｐ・ｑ＋|ｑ|^2 ……{1}
である。ただし、[ア]については、当てはまるものを、次の{0}〜{3}のうちから
一つ選べ。
→ → → → → → → →
{0} ｐ＋ｑ {1} ｐ−ｑ {2} ｑ−ｐ {3} −ｐ−ｑ
[ア]は、この４つの選択肢から一つを選ぶ。という問題になっていたのです。
→ＡＢは→ｐと→ｑで表すことができて、足すか引くかする。というわけです。
→
ＡＢは、ＡからＢまで行くときのベクトルなので、Ａから出発してＦを経由して
Ｂまでいく。つまり、→ＡＦ＋→ＦＢということができます。
→ → → → → →
ＦＡ＝ｐなのでＡＦ＝−ｐ，ＦＢ＝ｑだから・・・
(以下略)
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ラベル：数学
