2018年08月31日

本日配信のメルマガ。2017年センター2B第4問 ベクトル

本日配信のメルマガでは、2017年大学入試センター試験数学2B第4問を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
 http://www.mag2.com/m/0001641004.html


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■ 問題

第4問

 座標平面上に点A(2,0)をとり、原点Oを中心とする半径が2の円周上に
点B,C,D,E,Fを、点A,B,C,D,E,Fが順に正六角形の頂点と
なるようにとる。ただし、Bは第1象限にあるとする。

(1) 点Bの座標は([ア],√[イ]),点Dの座標は(−[ウ],0)である。
                                 →
(2) 線分BDの中点をMとし、直線AMと直線CDの交点をNとする。ONを
求めよう。
  →            →  →   →  →  →   →
 ONは実数r,sを用いて、ON=OA+rAM,ON=OD+sDCと
2通りに表すことができる。ここで
   →
  AM=(−[エ]/[オ],√[カ]/[キ])
   →
  DC=([ク],√[ケ])

であるから

  r=[コ]/[サ],s=[シ]/[ス]

である。よって
   →
  ON=(−[セ]/[ソ],[タ]√[チ]/[ツ])

である。

(3) 線分BF上に点Pをとり、そのy座標をaとする。点Pから直線CEに引いた
垂線と、点Cから直線EPに引いた垂線との交点をHとする。
  →
 EPが
   →
  EP=([テ],[ト]+√[ナ])

と表せることにより、Hの座標をaを用いて表すと

  (([ニ]a^[ヌ]+[ネ])/[ノ],[ハ])

である。  →  →
 さらに、OPとOHのなす角をθとする。cosθ=12/13のとき、
aの値は

  a=±[ヒ]/[フヘ]

である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2で、ベクトルの矢印は一部省略、
マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 ベクトルの成分と大きさ
 ◆2 ベクトルの足し算とかけ算
 ◆3 正六角形は正三角形
 ◆4 座標がわかればベクトルがわかる

(以下略)

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■ 解説

◆1〜2は省略します。


 ◆3 正六角形は正三角形

では、今回の問題です。
ぜひ図を描いて照らし合わせながら読んでいってみてください。

まず座標平面上に点A(2,0)をとって、原点Oを中心とする半径2の円がある
ようです。そしてその円周上に6つの点を正六角形になるようにとるのですね。

Aの座標は決まっていて、「Bは第1象限にある」ので、残りの4つの点の座標も
決まります。

正六角形は、対角線を引くと、正三角形6つに分けることができます。
円の半径は2なので、一辺が2の正三角形6つです。

△OABは、OAがx軸上にあります。
BはOAの中点の真上にあるので、その座標は(1,√3)です。

DはOに対してAのちょうと反対側なので、(−2,0)となります。

よって、[ア]=1,[イ]=3,[ウ]=2

さらに、CはBとy軸に対して対象なので(−1,√3)ですね!


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 ◆4 座標がわかればベクトルがわかる

(2)ではまず「線分BDの中点をMとし、直線AMと直線CDの交点をNとする」
とあります。
     →           →  →   →  →  →   →
そして「ONは実数r,sを用いてON=OA+rAM,ON=OD+sDC」
と表すことができます。

このように、2通りの方法でベクトルを表せば、それらをイコールで結んで方程式
をつくり、r,sを求めることができるというイメージです。
        →  →
次の設問では、AM,DCを聞いています。
今回の問題では、それぞれの点の座標を求められるので、座標を使ってベクトルを
求めるのが簡単です。

座標を使って「終点−始点」をすれば・・・


(以下略)


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ラベル:数学
posted by えま at 14:36| Comment(0) | メルマガ | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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