【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
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■ 問題
2014年センター試験数1Aより
第3問
△ABCは、AB=4,BC=2,cos∠ABC=1/4を満たすとする。
このとき
CA=[ア],cos∠BAC=[イ]/[ウ],sin∠BAC=√[エオ]/[カ]
であり、△ABCの外接円Oの半径は[キ]√[クケ]/[コサ]である。∠ABCの
二等分線と∠BACの二等分線の交点をD、直線BDと辺ACの交点をE、
直線BDと円Oとの交点でBと異なる交点をFとする。
(1) このとき
AE=[シ]/[ス],BE=[セ]√[ソタ]/[チ],BD=[ツ]√[テト]/[ナ]
となる。
(2) △EBCの面積は△EAFの面積の[ニ]/[ヌ]倍である。
(3) 角度に注目すると、線分FA,FC,FDの関係で正しいのは[ネ]である
ことが分かる。
[ネ]に当てはまるものを、次の{0}〜{5}のうちから一つ選べ。
{0} FA<FC=FD {1} FA=FC<FD
{2} FC<FA=FD {3} FD<FC<FA
{4} FA=FC=FD {5} FD<FC=FA
※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マル1は{1}、
マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次
◆1 三角比はx,y,rで理解しよう!
◆2 相互関係、正弦・余弦定理
◆3 2辺とはさむ角なら余弦定理
◆4 余弦定理の左辺には角の対辺
(以下略)
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■ 解説
◆1,2は省略します。
◆3 2辺とはさむ角なら余弦定理
お待たせしました。では、今回の問題に入ります。
「△ABCは、AB=4,BC=2,cos∠ABC=1/4を満たす」と
あります。
三角比の問題は、図を描きながら取り組むようにしてください。
ここを読む前に問題を解いてもらったと思いますが、そのときに図を描いて
いなかった人がいましたら、今ここで図を描くようにしてください。
AB=4,BC=2なので、ABはBCの2倍の長さです。
cos∠ABC=1/4なので、∠ABCは90°よりは小さいけど、
60°よりは大きい角度であることもわかります。
なるべくそれらしく三角形を描いてください。
描けたら、まずは最初の設問を確認してみます。
CAの長さを聞いていますね。
△ABCは、2辺とそのはさむ角が分かっているので、余弦定理が使える最も
基本的なパターンです。やってみましょう!
CA^2=AB^2+BC^2−2AB・BC・cos∠ABC
=4^2+2^2−2×4×2×1/4
=16+4−4
=16
∴CA=4
よって、[ア]=4
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◆4 余弦定理の左辺には角の対辺
そして、cos∠BACとsin∠BACを聞いています。
△ABCは、すでに3辺と1角がわかっているので、いろいろな方法で求める
ことができます。
ここでは、一番標準的と思われる、余弦定理を使って求めてみましょう。
cos∠BACを求めるので・・・
(以下略)
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ラベル:数学