【高校数学】読むだけでわかる！センター数学の考え方
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■ 問題
2014年センター試験数１Ａより
第３問
△ＡＢＣは、ＡＢ＝４，ＢＣ＝２，ｃｏｓ∠ＡＢＣ＝１／４を満たすとする。
このとき
ＣＡ＝[ア]，ｃｏｓ∠ＢＡＣ＝[イ]／[ウ]，ｓｉｎ∠ＢＡＣ＝√[エオ]／[カ]
であり、△ＡＢＣの外接円Ｏの半径は[キ]√[クケ]／[コサ]である。∠ＡＢＣの
二等分線と∠ＢＡＣの二等分線の交点をＤ、直線ＢＤと辺ＡＣの交点をＥ、
直線ＢＤと円Ｏとの交点でＢと異なる交点をＦとする。
(1) このとき
ＡＥ＝[シ]／[ス]，ＢＥ＝[セ]√[ソタ]／[チ]，ＢＤ＝[ツ]√[テト]／[ナ]
となる。
(2) △ＥＢＣの面積は△ＥＡＦの面積の[ニ]／[ヌ]倍である。
(3) 角度に注目すると、線分ＦＡ，ＦＣ，ＦＤの関係で正しいのは[ネ]である
ことが分かる。
[ネ]に当てはまるものを、次の{0}〜{5}のうちから一つ選べ。
{0} ＦＡ＜ＦＣ＝ＦＤ {1} ＦＡ＝ＦＣ＜ＦＤ
{2} ＦＣ＜ＦＡ＝ＦＤ {3} ＦＤ＜ＦＣ＜ＦＡ
{4} ＦＡ＝ＦＣ＝ＦＤ {5} ＦＤ＜ＦＣ＝ＦＡ
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マル１は{1}、
マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次
◆１ 三角比はｘ，ｙ，ｒで理解しよう！
◆２ 相互関係、正弦・余弦定理
◆３ ２辺とはさむ角なら余弦定理
◆４ 余弦定理の左辺には角の対辺
(以下略)
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■ 解説
◆１，２は省略します。
◆３ ２辺とはさむ角なら余弦定理
お待たせしました。では、今回の問題に入ります。
「△ＡＢＣは、ＡＢ＝４，ＢＣ＝２，ｃｏｓ∠ＡＢＣ＝１／４を満たす」と
あります。
三角比の問題は、図を描きながら取り組むようにしてください。
ここを読む前に問題を解いてもらったと思いますが、そのときに図を描いて
いなかった人がいましたら、今ここで図を描くようにしてください。
ＡＢ＝４，ＢＣ＝２なので、ＡＢはＢＣの２倍の長さです。
ｃｏｓ∠ＡＢＣ＝１／４なので、∠ＡＢＣは９０°よりは小さいけど、
６０°よりは大きい角度であることもわかります。
なるべくそれらしく三角形を描いてください。
描けたら、まずは最初の設問を確認してみます。
ＣＡの長さを聞いていますね。
△ＡＢＣは、２辺とそのはさむ角が分かっているので、余弦定理が使える最も
基本的なパターンです。やってみましょう！
ＣＡ^2＝ＡＢ^2＋ＢＣ^2−２ＡＢ・ＢＣ・ｃｏｓ∠ＡＢＣ
＝４^2＋２^2−２×４×２×１／４
＝１６＋４−４
＝１６
∴ＣＡ＝４
よって、[ア]＝４
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◆４ 余弦定理の左辺には角の対辺
そして、ｃｏｓ∠ＢＡＣとｓｉｎ∠ＢＡＣを聞いています。
△ＡＢＣは、すでに３辺と１角がわかっているので、いろいろな方法で求める
ことができます。
ここでは、一番標準的と思われる、余弦定理を使って求めてみましょう。
ｃｏｓ∠ＢＡＣを求めるので・・・
(以下略)
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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ラベル：数学
