2018年11月02日

本日配信のメルマガ。2013年センター数学2B第1問[2] 指数・対数

本日配信のメルマガでは、2013年大学入試センター試験数学2B第1問[2]を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
 http://www.mag2.com/m/0001641004.html


リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。


■ 問題

第1問

[2] 連立方程式

  {x+y+z=3
(*) {2^x+2^y+2^z=35/2
  {1/2^x+1/2^y+1/2^z=49/16

を満たす実数x,y,zを求めよう。ただし、x≦y≦zとする。

 X=2^x,Y=2^y,Z=2^zとおくと、x≦y≦zによりX≦Y≦Zである。
(*)から、X,Y,Zの関係式

  {XYZ=[ソ]
  {X+Y+Z=35/2
  {XY+YZ+ZX=[タチ]/[ツ]

が得られる。

 この関係式を利用すると、tの3次式(t−X)(t−Y)(t−Z)は

(t−X)(t−Y)(t−Z)=t^3−(X+Y+Z)t^2
                    +(XY+YZ+ZX)t−XYZ
=t^3−(35/2)t^2+([タチ]/[ツ])t−[ソ]
=(t−1/2)(t−[テ])(t−[トナ])

となる。したがって、X≦Y≦Zにより

  X=1/2,Y=[テ],Z=[トナ]

となり、x=log[ニ]X,y=log[ニ]Y,z=log[ニ]Zから

  x=[ヌネ],y=[ノ],z=[ハ]

であることがわかる。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、底がa真数がbの対数はlog[a]b、
マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 指数と対数は表裏一体
 ◆2 対数の計算法則
 ◆3 設定の通りに置き換えてみる
 ◆4 指数の等式は対数に変換

(以下略)

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■ 解説

◆1,2は省略します。


 ◆3 設定の通りに置き換えてみる

では、今回の問題の設定を確認しましょう!

まずx,y,zに関しての連立方程式があります。

  {x+y+z=3
(*) {2^x+2^y+2^z=35/2
  {1/2^x+1/2^y+1/2^z=49/16

このようになっています。
そして、「X=2^x,Y=2^y,Z=2^zとおく」そうです。
このようにおくと、この連立方程式を別の形に書き換えることができます。
一つ一つ確認してみましょう。

まず、一番わかりやすいのが、真ん中の2^x+2^y+2^z=35/2ですね。
X=2^x,Y=2^y,Z=2^zなので、これらを置き換えると、

X+Y+Z=35/2

となります。


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 ◆4 指数の等式は対数に変換

次に1個目の式について考えてみましょう。

x+y+z=3を変形して、XYZの形にすることを目指します。

それには、「xをXに置き換える」「xを消去する」などの方向性で考えて
みましょう。

すると・・・


(以下略)


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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ラベル:数学
posted by えま at 10:51| Comment(0) | メルマガ | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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