【高校数学】読むだけでわかる！センター数学の考え方
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■ 問題
2018年センター試験数２Ｂより
第２問
[ 2 ] 関数ｆ(ｘ)はｘ≧１の範囲でつねにｆ(ｘ)≦０を満たすとする。ｔ＞１の
とき、曲線ｙ＝ｆ(ｘ)とｘ軸および２直線ｘ＝１，ｘ＝ｔで囲まれた図形の面積を
Ｗとする。ｔがｔ＞１の範囲を動くとき、Ｗは、底辺の長さが２ｔ^2−２，他の
２辺の長さがそれぞれｔ^2＋１の二等辺三角形の面積とつねに等しいとする。
このとき、ｘ＞１におけるｆ(ｘ)を求めよう。
Ｆ(ｘ)をｆ(ｘ)の不定積分とする。一般に、Ｆ'(ｘ)＝[ツ]，Ｗ＝[テ]が成り
立つ。[ツ]，[テ]に当てはまるものを、次の{0}〜{8}のうちから一つずつ選べ。
ただし、同じものを選んでもよい。
{0} −Ｆ(ｔ) {1} Ｆ(ｔ) {2} Ｆ(ｔ)−Ｆ(１)
{3} Ｆ(ｔ)＋Ｆ(１) {4} −Ｆ(ｔ)＋Ｆ(１) {5} −Ｆ(ｔ)−Ｆ(１)
{6} −ｆ(ｘ) {7} ｆ(ｘ) {8} ｆ(ｘ)−ｆ(１)
したがって、ｔ＞１において
ｆ(ｔ)＝[トナ]ｔ^[ニ]＋[ヌ]
である。よって、ｘ＞１におけるｆ(ｘ)がわかる。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記して
います。
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■ 解説目次
◆１ 導関数は傾きを表す
◆２ 極値では導関数の値(＝微分係数)が０
◆３ 積分は微分の逆
◆４ ｆ(ｘ)はどんな関数？
◆５ 面積は「上引く下で定積分」
(以下略)
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■ 解説
◆１〜３は省略します。
◆４ ｆ(ｘ)はどんな関数？
では今回の問題です。まずはどんな設定かよく確認しましょう！
[ 2 ] 関数ｆ(ｘ)はｘ≧１の範囲でつねにｆ(ｘ)≦０を満たすとする。ｔ＞１の
とき、曲線ｙ＝ｆ(ｘ)とｘ軸および２直線ｘ＝１，ｘ＝ｔで囲まれた図形の面積を
Ｗとする。ｔがｔ＞１の範囲を動くとき、Ｗは、底辺の長さが２ｔ^2−２，他の
２辺の長さがそれぞれｔ^2＋１の二等辺三角形の面積とつねに等しいとする。
このとき、ｘ＞１におけるｆ(ｘ)を求めよう。
関数ｆ(ｘ)が与えられています。
このｆ(ｘ)は、「ｘ≧１の範囲でつねにｆ(ｘ)≦０を満たす」そうです。
さらに、ｔ＞１でｘ＝ｔという直線と、ｘ＝１という直線を考えます。
これらのグラフとｘ軸とで囲まれた図形の面積をＷとしています。
つまりこれは・・・
１からｔの区間でのｆ(ｘ)の定積分の値とほとんど同じですね。
さらに、このＷは、「底辺の長さが２ｔ^2−２，他の２辺の長さがそれぞれ
ｔ^2＋１の二等辺三角形の面積と常に等しい」と定められています。
まとめると、
Ｗはｘの関数で表されていて、そのＷはｔの式で表される二等辺三角形の面積と
同じになる。というわけです。
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◆５ 面積は「上引く下で定積分」
続いて、「Ｆ(ｘ)をｆ(ｘ)の不定積分とする」とあります。
そして、選択肢から当てはまる式(値)を選ぶ問題になっています。
選択肢は
{0} −Ｆ(ｔ) {1} Ｆ(ｔ) {2} Ｆ(ｔ)−Ｆ(１)
{3} Ｆ(ｔ)＋Ｆ(１) {4} −Ｆ(ｔ)＋Ｆ(１) {5} −Ｆ(ｔ)−Ｆ(１)
{6} −ｆ(ｘ) {7} ｆ(ｘ) {8} ｆ(ｘ)−ｆ(１)
です。
Ｆ(ｘ)はｆ(ｘ)を積分したものなので、Ｆ(ｘ)を微分すれば・・・
(以下略)
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