先日の授業でこんな問題がありました。
「０≦ｘ＜２πとするとき、ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎｘ－ｃｏｓ２ｘ－３の最大値・最小値を求めよ。」
これを解くときは、まずサインとコサインが混じっていることに注目します。
両方あるとやりにくいので、どちらか片方に統一します。
ｃｏｓ２ｘの方は、三角関数の二倍角の公式で、サインだけの式に直すことができますね。
ｃｏｓ２ｘ＝(ｃｏｓｘ)^2－(ｓｉｎｘ)^2＝１－２(ｓｉｎｘ)^2
なので、
ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎｘ－{１－２(ｓｉｎｘ)^2}－３
こうなれば、ｓｉｎｘについての２次式なので、普通に２次関数と同様に最大最小のときにやるべきことをやります。
つまり、「平方完成」「頂点」ですね。
ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎｘ－１＋２(ｓｉｎｘ)^2－３
＝２(ｓｉｎｘ)^2＋２ｓｉｎｘ－４
＝２{(ｓｉｎｘ)^2＋ｓｉｎｘ)－４
＝２{(ｓｉｎｘ＋１／２)^2－１／４}－４
＝２(ｓｉｎｘ＋１／２)^2－１／２－４
＝２(ｓｉｎｘ＋１／２)^2－９／２
よって、頂点(－１／２，－９／２)を求めることができました。
下に凸のグラフなので、これが最小値！・・・でだいたい良いのですが、定義域も考えなければいけません。
ｓｉｎｘは９０°＝π／２のとき最大で１，２７０°＝(３／２)πのとき最小で－１ですね。
つまり、定義域は－１≦ｓｉｎｘ≦１です。
頂点はこの範囲に入っているので、やはり最小値は頂点でＯＫです。
最大値は定義域の両端のうち頂点から遠い方なので、ｓｉｎｘ＝１ですね。
ｆ(ｘ)＝２(ｓｉｎｘ)^2＋２ｓｉｎｘ－４にｓｉｎｘ＝１を代入すると、ｆ(ｘ)＝０で、これが最大値です。
ｓｉｎｘ＝１のとき最大値０，ｓｉｎｘ＝－１／２のとき最小値－９／２
となります。
さらに、通常は、これらの値を取る場合のｘの値もあわせて答えます。
ｓｉｎｘ＝１のときｘ＝π／２、ｓｉｎｘ＝－１／２のときｘ＝(７／６)π，(１１／６)πですね。ということで、
「ｓｉｎｘ＝１すなわちｘ＝π／２のとき最大値０，ｓｉｎｘ＝－１／２すなわちｘ＝(７／６)π，(１１／６)πのとき最小値－９／２」
これで完成です！
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１０秒でわかる高校数学２Ｂ「三角関数」の考え方
「久しぶりの三角関数、分かりやすく直感で問題の解く方向が分かり楽しかった」などのコメントいただいています。ありがとうございます！
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ラベル：数学
