「be busy doing」は「～するのに忙しい」という熟語である。
のように書かれていることが多いと思います。
単に「はいそうですか」と覚えるのではなく、「どうしてそうなるか」を考えた方がよいです。
be busy in doingの前置詞inを省略したもの。と考えれば、doingは動名詞だから～ingになっている。と理解できます。
または
doingは現在分詞で、be busyを修飾している。busyな状態の状況説明がdoingである。と考えることもできます。
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