高校数学「等式の証明」ｘ＋ｙ＋ｚ＝０のとき

高校数学「等式の証明」ｘ＋ｙ＋ｚ＝０のとき

ｘ＋ｙ＋ｚ＝０のとき、ｘ^3＋ｙ ^3＋ｚ^3＝３ｘｙｚであることを証明せよ。

この問題の証明をすることを考えてみます。

等式の証明は、前回の記事でも述べたように、Ａ−Ｂ＝０を証明するなどの方法ですることができます。

今回の問題のように、「ｘ＋ｙ＋ｚ＝０」という条件がある場合は、これを活用しなければ、普通はできないようになっています。

ｘ＋ｙ＋ｚ＝０を移項して、ｘ＋ｙ＝−ｚとしてみましょう。
これはつまり、「ｘ＋ｙがあれば、−ｚに置き換えられる」ということを意味します。



与式を変形して、ｘ＋ｙの形を作ることをめざしましょう！

(左辺)＝ｘ^3＋ｙ^3＋ｚ^3
　　　＝(ｘ＋ｙ)(ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2)＋ｚ^3
　　　＝(ｘ＋ｙ){(ｘ＋ｙ)^2−３ｘｙ}＋ｚ^3

因数分解の公式を利用して、このように変形してみると、ｘ＋ｙが出てきました。−ｚに置き換えてみましょう！

　　　＝(−ｚ){(−ｚ)^2−３ｘｙ}＋ｚ^3
　　　＝(−ｚ)(ｚ^2−３ｘｙ)＋ｚ^3
　　　＝−ｚ^3＋３ｘｙ＋ｚ^3
　　　＝３ｘｙ
　　　＝(右辺)

ということで、左辺と右辺が等しいことが証明できました。


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