高校数学「２次関数」頂点の座標

高校数学「２次関数」頂点の座標

2009年のセンター試験に、次の２次関数の頂点を求める問題が出題されました。

ｙ＝２ｘ^2−４(ａ＋１)ｘ＋１０ａ＋１

頂点を求めるには平方完成ですね。
これを平方完成すると、次のようになります。

�@まずはｘの２乗の係数でくくる
ｙ＝２{ｘ^2−２(ａ＋１)ｘ}＋１０ａ＋１

�A１行空けて括弧の２乗をつくる
ｙ＝２{ｘ^2−２(ａ＋１)ｘ}＋１０ａ＋１
　＝
　＝２{ｘ−(ａ＋１)}^2

�B空けた行に括弧の２乗を展開する
ｙ＝２{ｘ^2−２(ａ＋１)ｘ}＋１０ａ＋１
　＝２{ｘ^2−２(ａ＋１)ｘ＋(ａ＋１)^2−(ａ＋１)^2}＋１０ａ＋１　←中括弧の中には(ａ＋１)^2がなかったので相殺した
　＝２{ｘ−(ａ＋１)}^2

�C括弧の２乗を作るために使わなかった項を３行目に書き足す
ｙ＝２{ｘ^2−２(ａ＋１)ｘ}＋１０ａ＋１
　＝２{ｘ^2−２(ａ＋１)ｘ＋(ａ＋１)^2−(ａ＋１)^2}＋１０ａ＋１
　＝２{ｘ−(ａ＋１)}^2−２(ａ＋１)^2＋１０ａ＋１

�D定数項をまとめて完成
ｙ＝２{ｘ^2−２(ａ＋１)ｘ}＋１０ａ＋１
　＝２{ｘ^2−２(ａ＋１)ｘ＋(ａ＋１)^2−(ａ＋１)^2}＋１０ａ＋１
　＝２{ｘ−(ａ＋１)}^2−２(ａ^2＋２ａ＋１)＋１０ａ＋１
　＝２{ｘ−(ａ＋１)}^2−２ａ^2−４ａ−２＋１０ａ＋１
　＝２{ｘ−(ａ＋１)}^2−２ａ^2＋６ａ−１

ということで、この２次関数の頂点の座標は(ａ＋１，−２ａ^2＋６ａ−１)ですね！


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