「ｘ≧０，ｙ≧０，２ｘ＋ｙ＝２のとき、ｘ(ｙ−１)の最大値・最小値を求めよ。」
この問題を解くことを考えます。
前回の記事で、与式から２次式を作りました。
ｘ(ｙ−１)＝−２ｘ^2＋ｘ
となるのでしたね。
この記事では、この２次式の最大値・最小値を実際に求めてみます。
２次式の最大最小なので、まずは平方完成です。
−２ｘ^2＋ｘ
＝−２(ｘ^2−ｘ／２)
＝−２{(ｘ−１／４)^2−１／１６}
＝−２(ｘ−１／４)^2＋１／８
よって、この２次式の頂点は、(１／４，１／８)
だから、「ｘ＝１／４のときｙ＝１／８」・・・ではありません。
ｘ＝１／４は正しいですが、この１／８は、この問題のｙの値ではなく、ｘ(ｙ−１)の式の値です。
−２ｘ^2＋ｘは、ｘの２乗の係数がマイナスなので、上に凸の放物線になります。
だから、頂点が定義域に入っていれば、頂点が最大値になります。
ｘ≧０，ｙ≧０，２ｘ＋ｙ＝２という条件から、ｘの定義域が決まります。
ｘ，ｙともにゼロ以上で、２ｘ＋ｙ＝２ということは、ｘが増えればｙは減る。という関係にあり、ｘもｙもある一定の範囲の値のみをとることができます。
ｙ≧０を満たす範囲で、ｘが最も大きくなるときは、ｘ＝１ですね。ｘ＝１，ｙ＝０ならば、２ｘ＋ｙ＝２が成り立ちます。
つまり、定義域は０≦ｘ≦１です。
この範囲内にｘ＝１／４は入っているので、やはり頂点が最大値です。
ｘ＝１／４のとき、最大値１／８
さらに、このときのｙの値も求めましょう！
２ｘ＋ｙ＝２で、ｘ＝１／４なので代入して、２×１／４＋ｙ＝２より、ｙ＝３／２です。
まとめると、
ｘ＝１／４，ｙ＝３／２のとき、最大値１／８
というわけですね！
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ラベル：数学
