2019年１Ａ第２問[2]の解説が完成したので、その関連問題として、2018年の問題を配信してみることにしました。
【高校数学】読むだけでわかる！センター数学の考え方
http://www.mag2.com/m/0001641004.html
リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。
■ 問題
2018年センター試験数１Ａより
第２問
[2] ある陸上大会に出場した選手の身長(単位はcm)と体重(単位はkg)のデータが
得られた。男子短距離、男子長距離、女子短距離、女子長距離の四つのグループに
分けると、それぞれのグループの選手数は、男子短距離が328人、男子長距離が271
人、女子短距離が319人、女子長距離が263人である。
(1) 次ページの図１および図２は、男子短距離、男子長距離、女子短距離、女子
長距離の四つのグループにおける、身長のヒストグラムおよび箱ひげ図である。
次の[サ]、[シ]に当てはまるものを、下の{0}～{6}のうちから一つずつ選べ。
ただし、解答の順序は問わない。
図１および図２から読み取れる内容として正しいものは、[サ]、[シ]である。
{0} 四つのグループのうちで範囲が大きいのは、女子短距離グループである。
{1} 四つのグループのすべてにおいて、四分位範囲は12未満である。
{2} 男子長距離グループのヒストグラムでは、度数最大の階級に中央値が入って
いる。
{3}女子長距離グループのヒストグラムでは、度数最大の階級に第１四分位数が
入っている。
{4} すべての選手の中で最も身長の高い選手は、男子長距離グループの中にいる。
{5} すべての選手の中で最も身長の低い選手は、女子長距離グループの中にいる。
{6} 男子短距離グループの中央値と男子長距離グループの第３四分位数は、ともに
180以上182未満である。
図１，図２
(ここでは省略します)
(2) 身長をＨ，体重をＷとし、ＸをＸ＝(Ｈ／１００)^2で、ＺをＺ＝Ｗ／Ｘで定義
する。次ページの図３は、男子短距離、男子長距離、女子短距離、女子長距離の
四つのグループにおけるＸとＷのデータの散布図である。ただし、原点を通り、
傾きが15, 20, 25, 30である四つの直線ｌ1, ｌ2, ｌ3, ｌ4も補助的に描いて
いる。また、次ページの図４の(a), (b), (c), (d)で示すＺの四つの箱ひげ図は、
男子短距離、男子長距離、女子短距離、女子長距離の四つのグループのいずれかの
箱ひげ図に対応している。
次の[ス]，[セ]に当てはまるものを、下の{0}～{5}のうちから一つずつ選べ。
ただし、解答の順序は問わない。
図３および図４から読み取れる内容として正しいものは、[ス]，[セ]である。
{0} 四つのグループのすべてにおいて、ＸとＷには負の相関がある。
{1} 四つのクループのうちでＺの中央値が一番大きいのは、男子長距離グループ
である。
{2} 四つのグループのうちでＺの範囲が最小なのは、男子長距離グループである。
{3} 四つのグループのうちでＺの四分位範囲が最小なのは、男子短距離グループ
である。
{4} 女子長距離グループのすべてのＺの値は25より小さい。
{5} 男子長距離グループのＺの箱ひげ図は(c)である。
図３，図４
(ここでは省略します)
(3) ｎを自然数とする。実数値のデータｘ1, ｘ2, …, ｘnおよびｗ1, ｗ2, …, ｗn
に対して、それぞれの平均値を
＿ ＿
ｘ＝(ｘ1＋ｘ2＋…＋ｘn)／ｎ，ｗ＝(ｗ1＋ｗ2＋…＋ｗn)／ｎ
＿ ＿＿
とおく。等式(ｘ1＋ｘ2＋…＋ｘn)ｗ＝ｎｘｗなどに注意すると、偏差の積の和は
＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿
(ｘ1－ｘ)(ｗ1－ｗ)＋(ｘ2－ｘ)(ｗ2－ｗ)＋…＋(ｘn－ｘ)(ｗn－ｗ)
＝ｘ1ｗ1＋ｘ2ｗ2＋…＋ｘnｗn－[ソ]
となることがわかる。[ソ]に当てはまるものを、次の{0}～{3}のうちから一つ選べ。
＿＿ ＿＿ ＿＿ ＿＿
{0} ｘｗ {1} (ｘｗ)^2 {2} ｎｘｗ {3} ｎ^2・ｘｗ
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次
◆１ 2018年も第２問は「三角比」「データの分析」
◆２ 問題長いです(笑)
◆３ 四分位数と範囲、箱ひげ図の基本
◆４ 箱ひげ図で最大最小、四分位数等を読み取って
(以下略)
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■ 解説
◆１，２は省略します。
◆３ 四分位数と範囲、箱ひげ図の基本
では早速、ひとつひとつ選択肢を検討してみましょう！
・・・と言いたいところですが、その前に、この単元の用語について少し解説して
おきます。
「中央値」は、中学でも習ったように、データを大きさの順に並べたときに、
その順番が真ん中になる値です。データの個数が偶数の場合は、「ちょうど真ん中」
が存在しないので、真ん中に近い２つの平均が「中央値」です。
「第１四分位数」は、中央値を境目に、データを上半分と下半分に分けたときの、
下半分の中央値です。
「第３四分位数」は、中央値を境目に、データを上半分と下半分に分けたときに、
上半分の中央値です。
「第１四分位数」→「中央値」→「第３四分位数」の順番になり、これら３つの
値で、もとのデータは四等分されることになります。
「範囲」とは、データの存在する範囲を示します。
「★範囲＝最大－最小」で求めることができます。
「四分位範囲」とは、第１四分位数と第３四分位数の「範囲」です。
つまり「★四分位範囲＝第３四分位数－第１四分位数」で求めることができます。
そして、「箱ひげ図」は、「箱」の部分が四分位範囲を示し、箱の中央付近に
中央値を示す線を引きます。
箱の両側に伸びる「ひげ」を含めて最大値・最小値までの「範囲」を示します。
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◆４ 箱ひげ図で最大最小、四分位数等を読み取って
前置きが長くなりましたが、今度こそ選択肢を検討してみましょう！
{0} 四つのグループのうちで範囲が大きいのは、女子短距離グループである。
→箱ひげ図を見てみると、女子短距離は145～187なので、範囲は42です。
他のグループを見てみると、男子短距離が範囲が大きそうですね。
152～202なので範囲は50です。
男子短距離の方が範囲が大きいです。よって、これは正しくありません。
{1} 四つのグループのすべてにおいて、四分位範囲は12未満である。
→「四分位範囲」とは、箱ひげ図の「箱」の部分でしたね。
四つのグループどれを見ても、箱の大きさが１２以上になっているものはない
ようですね。
よって、これは正しいです！
{2} 男子長距離グループのヒストグラムでは、度数最大の階級に中央値が入って
いる。
→まず男子長距離の箱ひげ図を見ると、176cmのところに中央値を示す線が入って…
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ラベル：数学
