高校数学「極限」「分数の積」

高校数学「極限」「分数の積」

ｌｉｍ[n→∞](１−１／２^2)(１−１／３^2)(１−１／４^2)・・・{１−１／(ｎ−１)^2}(１−１／ｎ^2)の極限値を求めることを考えます。

それぞれの括弧の中身が(ａ^2−ｂ^2)の形になっていることに注目すると、

＝ｌｉｍ[n→∞](１＋１／２)(１−１／２)(１＋１／３)(１−１／３)(１＋１／４)(１−１／４)・・・{１＋１／(ｎ−１)}{１−１／(ｎ−１)}(１＋１／ｎ)(１−１／ｎ)

このように因数分解することができますね。

これの括弧の中身をそれぞれ計算してみると、

＝ｌｉｍ[n→∞](３／２)(１／２)(４／３)(２／３)(５／４)(３／４)・・・{ｎ／(ｎ−１)}{(ｎ−２)／(ｎ−１)}{(ｎ＋１)／ｎ}{(ｎ−１)／ｎ}
＝ｌｉｍ[n→∞](３・１／２・２)(４・２／３・３)(５・３／４・４)・・・{ｎ(ｎ−２)／(ｎ−１)(ｎ−１)}{(ｎ＋１)(ｎ−１)／ｎ・ｎ}

このように式を書いてみると、約分できる部分がたくさんあることに気づくと思います。
例えば(３・１／２・２)(４・２／３・３)の部分は、２と２，３と３が約分できますね。さらに、次の(５・３／４・４)と４と４，３と３で約分できるので、最初の(３・１／２・２)(４・２／３・３)の部分は、１／２だけ残ります。
同様に次々と約分していくと、最初の１／２と最後の(ｎ＋１)／ｎが残り、

＝ｌｉｍ[n→∞](１／２){(ｎ＋１)／ｎ}

よって、求める極限値は１／２となります。


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−