高校数学「高次方程式」「３次方程式」「因数定理」

高校数学「高次方程式」「３次方程式」「因数定理」

ｘ^3−３ｘ^2＋２＝０という方程式を解くことを考えます。

式をぼんやり見ていると、
「掛けて２，足して−３だから、−１と−２でしょ？因数分解して(ｘ−１)(ｘ−２)だから、ｘ＝１，２で完成！簡単！」
などとやってしまいがちです。

もし、ｘ^2−３ｘ＋２＝０ならば、もちろんそれで正解ですが、この式はｘ^3−３ｘ^2＋２＝０です。３次式です。
３次式はそのように因数分解することはできません。

ではどうすればいいかと言うと、３次方程式や４次方程式では、「因数定理」を使うのが標準的ですね。

「ｆ(ａ)＝０ならば、ｆ(ｘ)は(ｘ−ａ)を因数にもつ」というやつです。
これを使って、因数を見つけて、その因数で割り算をして次数を下げていく。という方針です。

たとえばｘ^3−３ｘ^2＋２に、ｘ＝１を代入してみると、

１−３＋２＝０

で、ちょうど都合のいいことに？ゼロになりました。

ということは、ｘ^3−３ｘ^2＋２は、ｘ−１を因数にもつことがわかります。
ならば、ｘ−１で割れば割り切れるのですね。

割ってみると、(ｘ^3−３ｘ^2＋２)÷(ｘ−１)＝ｘ^2−２ｘ−２となります。
つまり、

ｘ^3−３ｘ^2＋２＝(ｘ−１)(ｘ^2−２ｘ−２)

であることがわかりました。つまり、

　　　ｘ^3−３ｘ^2＋２＝０
(ｘ−１)(ｘ^2−２ｘ−２)＝０

です。
この式が成り立つためには、それぞれの括弧の中がゼロになる必要があるので、

ｘ−１＝０，ｘ^2−２ｘ−２＝０ですね。

あとはこれらを解けば、もとの３次方程式ｘ^3−３ｘ^2＋２＝０の解が得られる。というわけです！


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プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
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