2次不等式x^2−ax−2a>0がxの値にかかわらず常に成り立つようなaの値の範囲を求めよ。
この問題について考えます。
「ゼロ以上だから、D>0だね」などと考えてしまってはいけません。
y=x^2−ax−2aという関数のグラフを丁寧に考える必要があります。
この2次関数のグラフは、下に凸なので、「2次不等式x^2−ax−2a>0がxの値にかかわらず常に成り立つ」ためには、グラフが常にx軸の上側にある必要があります。
「グラフが常にx軸の上側」の場合は、グラフを描いてみれば当然見たままですが、「放物線とx軸は共有点を持たない」とわかると思います。
「放物線がx軸と共有点を持たない」条件は、D<0でしたね。
判別式D=b^2−4acは、2次方程式の解の公式のルートの中身です。
ルートの中身がマイナスならば、解が虚数になってしまうので、実数解は持たない。つまり、放物線とx軸は共有点を持たない。というわけです。
D<0で解くと、
D=(−a)^2−4×1×(−2a)
=a^2+8a<0
a(a+8)<0
よって、−8<a<0
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ラベル:数学