2019年06月02日

高校数学「不等式の証明」「相加相乗平均」

高校数学「不等式の証明」「相加相乗平均」

a>0のとき、不等式a+1/a≧2を証明せよ。

この問題について考えます。


↓解答解説はお知らせの下に↓

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不等式の証明でまず最初に考えるのは、「大きい方−小さい方≧0」ですね。

この場合、a+1/a−2≧0を言うことができれば、与式が証明できたことになりますが・・・

aが大きくなれば1/aは小さくなるし、aが小さくなれば1/aは大きくなるし、a+1/a−2≧0を普通に計算して示すのは難しそうですね。

また、aと1/aは逆数の関係になっていて、a×1/a=1となり、かけ算をするとaが消えます。

このような場合に、「相加平均と相乗平均の関係」を使います。
2つの数をa,bとすると、

(a+b)/2≧√ab

という関係があることが知られています。
左辺が足して2で割ったので「相加平均」、右辺は掛けてルートしたので「相乗平均」です。
言葉で説明すれば、(相加平均)≧(相乗平均)という関係があるということができます。これは「そうなる」ことが知られているので、「公式・定理」と同様に使うことができます。

証明では、この両辺を2倍して

a+b≧2√ab

の形で使うことが多いです。

今回の問題では、a=a,b=1/aとすれば、相加相乗平均の関係より

a+1/a≧2√(a×1/a)

という式が得られます。
この式の右辺を計算すれば、2√(a×1/a)=2×1=2となります。
つまり、「a+1/a≧2」ですね。
よって与式は成り立つ。
ということで証明が完成しました!


◆関連項目
相加相乗平均の基本


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ラベル:数学
posted by えま at 09:34| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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