微分係数の定義を利用して次の極限値を求めよ。
ｌｉｍ[x→1]{ｌｏｇｘ／(ｘ−１)}
この問題について考えます。
そもそも「微分係数の定義を利用して」というのが怪しい人が多いと思います。
公式に従うと、「ｆ(ｘ)のｘ＝ａにおける微分係数はｆ'(ａ)である」ということは比較的わかりやすいはずです。
定義に従った場合、
ｆ'(ａ)＝ｌｉｍ[x→a]{ｆ(ｘ)−ｆ(ａ)}／(ｘ−ａ)
このように表すことができます。
この式はつまり、ｘとａが限りなく近い場合の平均変化率なので、ａにおける微分係数を表している。というわけです。
与えられた式も、この形にすることができれば、微分係数に置き換えられて、極限値を表すことができるのですね。
＝ｌｉｍ[x→1]{(ｌｏｇｘ−ｌｏｇ１)／(ｘ−１)}
ｌｏｇ１＝０なので、足しても引いても変わらないから、その先がやりやすいように都合よく入れることができる。というわけです。
ここで、ｆ(ｘ)＝ｌｏｇｘとすると、ｆ(１)＝ｌｏｇ１ですね。これらで分子を置き換えると、
＝ｌｉｍ[x→1]{ｆ(ｘ)−ｆ(１)}／(ｘ−１)}
この式はつまり、定義に従った微分係数の式のａ＝１の場合になりました。よって、
＝ｆ'(１)
というわけです。
ｆ(ｘ)＝ｌｏｇｘなので、ｆ'(ｘ)＝１／ｘです。
ならば、ｆ'(１)＝１／１＝１
よって、「求める極限値は１」ですね！
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ラベル：数学
