整式Ｐ(ｘ)を、ｘ－２で割ったときの余りが－１，ｘ＋３で割ったときの余りが９であるとき、Ｐ(ｘ)を(ｘ－２)(ｘ＋３)で割ったときの余りを求めよ。
このように、整式とあまりが与えられているなら、「剰余の定理」が使えそうだな～と考えます。
剰余の定理とは「整式Ｐ(ｘ)をｘ－ａで割ったときの余りはＰ(ａ)である」という定理です。整式のｘに値を代入すると、割ったときの余りが出てくる。というイメージです。
今回の問題では
「ｘ－２で割ったときの余りが－１」なので、Ｐ(２)＝－１
「ｘ＋３で割ったときの余りが９」なので、Ｐ(－３)＝９
ということができます。
このような条件で、(ｘ－２)(ｘ＋３)で割ったときの余りを求めよう。という問いですね。
(ｘ－２)(ｘ＋３)は２次式なので、余りは１次式になります。
１次式の一般形はａｘ＋ｂなので、「Ｐ(ｘ)を(ｘ－２)(ｘ＋３)で割ると、余りはａｘ＋ｂになる」ということができます。
この問題では商はわからないので、Ｑ(ｘ)とおくと、等式を作ることができますね。
割られる数がＰ(ｘ)，割る数が(ｘ－２)(ｘ＋３)，商がＱ(ｘ)，余りがａｘ＋ｂなので、
Ｐ(ｘ)＝(ｘ－２)(ｘ＋３)Ｑ(ｘ)＋ａｘ＋ｂ
この式に、Ｐ(２)＝－１，Ｐ(－３)＝９を当てはめれば連立方程式ができて、余りも出るというわけですね！
Ｐ(２)＝(２－２)(２＋３)Ｑ(２)＋２ａ＋ｂ
＝０・５・Ｑ(２)＋２ａ＋ｂ
＝２ａ＋ｂ＝－１ ・・・①
Ｐ(－３)＝(－３－２)(３－３)Ｑ(－３)－３ａ＋ｂ
＝－５・０・Ｑ(－３)－３ａ＋ｂ
＝－３ａ＋ｂ＝９ ・・・②
この①，②を連立して解くと、
(計算は省略しますが)ａ＝－２，ｂ＝３が得られます。
余りはａｘ＋ｂなので代入して、
求める余りは－２ｘ＋３である。
となりますね！
ちなみに、(ｘ－２)(ｘ＋３)Ｑ(ｘ)の部分は、ｘ＝２やｘ＝－３を代入するとゼロになるので、そこら辺の参考書ではいきなり消えてしまっているかも知れません。
魔法のように「このときは消えちゃいます」じゃなくて、代入して計算したらゼロになるから「消える」ことを理解しておいたほうがよいですよ！
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ラベル：数学
