整式Ｐ(ｘ)＝ｘ^3＋ａｘ^2＋ｂｘ＋１をｘ^2＋ｘ－２で割った余りが－２ｘ＋３であるとき、定数ａ，ｂの値を求めよ。
この問題の場合、割る数が２次式なので因数定理や剰余の定理は使えない・・・と思うかも知れませんね。
確かに、因数定理や剰余の定理は、１次式で割った場合の余りがわかる定理です。２次式では直接的には使えません。
ならば、使えるように式を立ててみれば良いのではないか？と考えられると良いです。
この場合の割り算の関係を、商をＱ(ｘ)として方程式に表すと、
Ｐ(ｘ)＝(ｘ^2＋ｘ－２)・Ｑ(ｘ)－２ｘ＋３
となりますね。
因数分解すると、
Ｐ(ｘ)＝(ｘ＋２)(ｘ－１)・Ｑ(ｘ)－２ｘ＋３
こうなります。
これならば、剰余の定理が仕えそうですね！？
(ｘ＋２)(ｘ－１)・Ｑ(ｘ)の部分は、ｘ＝１やｘ＝－２のときゼロになってしまうので、そのときの余りが求められるというわけです。
Ｐ(１)＝－２＋３＝１
Ｐ(－２)＝－２×(－２)＋３＝４＋３＝７
また、与式から、Ｐ(１)＝１＋ａ＋ｂ＋１＝ａ＋ｂ＋２
Ｐ(－２)＝－８＋４ａ－２ｂ＋１＝４ａ－２ｂ－７
という式が得られます。Ｐ(１)はＰ(１)同士、Ｐ(－２)はＰ(－２)同士等しいに決まってるので、
Ｐ(１)＝ａ＋ｂ＋２＝１
ａ＋ｂ＝１－２
ａ＋ｂ＝－１
Ｐ(－２)＝４ａ－２ｂ－７＝７
４ａ－２ｂ＝７＋７
４ａ－２ｂ＝１４
ａとｂについての式が２つできたので、連立して解けばａ，ｂの値を求めることができます。
計算すると、ａ＝２，ｂ＝－３が得られます。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！
プロ家庭教師の江間です。 ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/ http://www.a-ema.com/j/
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
無断転載等はご遠慮ください。(c)江間淳
ラベル：数学
