△ＡＢＣにおいて、ＡＢ＝４，ＢＣ＝５，ＣＡ＝３である。辺ＢＣ上にＢＤ＝２となるように点Ｄをとる。このとき、ＡＤの長さを求めよ。
△ＡＢＣは３辺の長さがわかっています。
そして、ＡＤの長さを求めたい。という問題です。
ＡＤを求めるならば、ＡＤを含む三角形を考えます。
例えば、△ＡＢＤを使ってみましょう！
△ＡＢＤは、ＡＢ＝４，ＢＤ＝２と求める辺のＡＤを３辺とする三角形です。
△ＡＢＤは、すでに２辺がわかっているので、あとはどこか１角の大きさまたは三角比の値がわかれば、余弦定理の式を作ることができます。
余弦定理：ａ^2＝ｂ^2＋ｃ^2－２ｂｃ・ｃｏｓＡ
この式は、３辺と１角を含む式です。
初歩的には、「左辺のａを求めるときに使う」と考えますが、応用編(?)としては、「これらの３辺と１角のうち３つがわかれば残り１つがわかる」という使い方をします。
△ＡＢＤの場合、２辺がわかっていて残りの１辺を求めたいので、角に関する情報がわかれば余弦定理が使える。というわけです。
ここで、△ＡＢＣに注目します。
△ＡＢＣは３辺がわかっているので、３つの角どれについてでも余弦定理の式を作ることができます。
∠ＡＢＤと∠ＡＢＣは共通なので、∠ＡＢＣを表せば、∠ＡＢＤにそのまま使うことができ、△ＡＢＤについての余弦定理の式を作れる。と考えられます。
では、まず△ＡＢＣについて、余弦定理の式をつくってみましょう！
∠ＡＢＣを軸に考えるので、その対辺が左辺に来ます。
ｂ^2＝ｃ^2＋ａ^2－２ｃａ・ｃｏｓ∠ＡＢＣ
３^2＝４^2＋５^2－２×４×５・ｃｏｓ∠ＡＢＣ
９＝１６＋２５－４０ｃｏｓ∠ＡＢＣ
４０ｃｏｓ∠ＡＢＣ＝４１－９
４０ｃｏｓ∠ＡＢＣ＝３２
ｃｏｓ∠ＡＢＣ＝３２／４０
ｃｏｓ∠ＡＢＣ＝４／５
ｃｏｓ∠ＡＢＤ＝ｃｏｓ∠ＡＢＣ＝４／５なので、△ＡＢＤについて余弦定理の式を作ると、
ＡＤ^2＝ＡＢ^2＋ＢＤ^2－２・ＡＢ・ＢＤ・ｃｏｓ∠ＡＢＤ
＝４^2＋２^2－２×４×２×４／５
＝１６＋４－６４／５
＝(１００－６４)／５
＝３６／５
ＡＤ＝６／√５
＝６√５／５
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