次の関数を微分せよ。y=xsinx
「xのsinx乗」です。
このように、変数部分がまた別の関数になっている場合は、「対数微分法」を使うと微分しやすい場合があります。
対数微分法とは、まず両辺の自然対数をとり、その対数を微分するという方法です。
今回の問題では、まず、
logy=log(xsinx)
とします。
右辺を対数の計算法則に従って変形すると、
logy=sinx・logx
とすることができますね。
これは数学2の「指数・対数」の単元で習うものです。ここがわからない人は、指数対数の復習をしましょう!
この式の両辺を微分すると、
y'/y=(sinx)'・logx+sinx・(logx)'
=cosx・logx+sinx・(1/x)
左辺はy'/yなので、左辺をy'だけにするために、両辺にyをかけると、
y'=y(cosx・logx+sinx/x)
y=xsinxなので、代入して
y'=xsinx・(cosx・logx+sinx/x)
ということで、y=xsinxの微分ができました。
数学3微分積分まとめ
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ラベル:数学