２次方程式ｘ^2＋２ｍｘ＋２ｍ^2－５＝０が１より大きい異なる２つの実数解をもつとき、定数ｍの値の範囲を求めよ。
数学１の２次関数でも考えたように、「異なる２つの実数解」など、２次方程式の解の個数について調べたいときは、判別式を使います。
Ｄ＝ｂ^2－４ａｃで、Ｄ＞０のとき「異なる２つの実数解」ですね。
まずはやってみましょう！
Ｄ＝(２ｍ)^2－４×１×(２ｍ^2－５)
＝４ｍ^2－８ｍ^2＋２０
＝－４ｍ^2＋２０＞０
ｍ^2－５＜０
(ｍ＋√５)(ｍ－√５)＜０
よって、－√５＜ｍ＜√５ ・・・①
まずは判別式からこのようなｍの範囲がわかりました。
でも、これは単に「異なる２つの実数解」というだけの条件です。
「１より大きい」という条件は満たさない場合も含まれてしまっています。
「１より大きい」という条件を満たすためには・・・
まず、全体として１より右側にグラフがなければいけないので、「軸の方程式＞１」である必要があります。
軸の方程式ｘ＝－ｂ／ａなので、
－２ｍ／１＝－２ｍ＞１すなわち、ｍ＜－１／２ ・・・②
これで、グラフが全体として１より右側にある範囲がわかりました。
これは軸が１より大きいことを表しています。
でも、軸が１より大きくても、解が１より小さくなってしまう場合もありますね。
そんな場合を除外するには、ｘ＝１のときｙ＞０を満たせばＯＫです！
ｘ＝１のときｙ＞０ならば、グラフはｘ＝１でｘ軸の上側を通るので、２つの解がともに１より大きくなることが決まります。
ｘ^2＋２ｍｘ＋２ｍ^2－５にｘ＝１を代入すると、
１＋２ｍ＋２ｍ^2－５＞０
２ｍ^2＋２ｍ－４＞０
ｍ^2＋ｍ－２＞０
(ｍ＋２)(ｍ－１)＞０
よって、ｍ＜－２，ｍ＞１
①，②，③の条件全てを満たす場合が、「１より大きい異なる２つの実数解をもつとき」ですね！
－√５＜ｍ＜√５
ｍ＜－１／２
ｍ＜－２，ｍ＞１
を全て満たすのは・・・
－√５＜ｍ＜－２
ですね！
ちなみにここでは、数１の２次関数の単元で習う方法で解いてみましたが、数２では解と係数の関係を使って解くのが模範的だったりします。
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ラベル：数学
