解答★高校数学意外と解けない？問題 数学２Ｂ「微分」「定義に従った微分」「平均変化率」

解答★高校数学意外と解けない？問題　数学２Ｂ「微分」「定義に従った微分」「平均変化率」


問題はこちら


関数ｆ(ｘ)＝ｘ^2−２ｘ＋３について、次の問いに答えよ。

(1) ｘが１から３まで変化するときの平均変化率を求めよ。
(2) ｆ'(ｘ)を定義に従って求めよ。

(1)
平均変化率とは、結局は変化の割合です。
だから、

平均変化率＝ｙの増加量／ｘの増加量

で求めることができます。

　{ｆ(３)−ｆ(１)}／(３−１)
＝{９−６＋３−(１−２＋３)}／２
＝(６−２)／２
＝４／２
＝２

(2)
微分の本来の意味は、(1)で考えた平均変化率の２点の間隔が限りなく小さくなった場合の式や値のことです。
すなわち、

ｌｉｍ[h→0]{ｆ(ｘ＋ｈ)−ｆ(ｘ)}／{(ｘ＋ｈ)−ｘ}

これをそのまま計算するのが「定義に従った微分」です。

　ｌｉｍ[h→0]{(ｘ＋ｈ)^2−２(ｘ＋ｈ)＋３−(ｘ^2−２ｘ＋３)}／(ｘ＋ｈ−ｘ)
＝ｌｉｍ[h→0](ｘ^2＋２ｘｈ＋ｈ^2−２ｘ−２ｈ＋３−ｘ^2＋２ｘ−３)／ｈ
＝ｌｉｍ[h→0](ｘ^2−ｘ^2＋２ｘｈ−２ｘ＋２ｘ＋ｈ^2−２ｈ＋３−３)／ｈ
＝ｌｉｍ[h→0](２ｘｈ＋ｈ^2−２ｈ)／ｈ
＝ｌｉｍ[h→0](２ｘ＋ｈ−２)
＝２ｘ−２

もちろん、公式に従った微分でもまったく同じ式が得られます。
この考え方を使った応用問題もあるので、できるだけ、定義に従った微分もできるようにしておきましょう！


このコーナーでは、「基本だし、わかれば難しくないけど、意外と解けない人が多い問題」を中心に掲載していきます。


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　　　　　　　　　無断転載等はご遠慮ください。(c)江間淳