高校物理「力学」「惑星の運動」「運動方程式」

高校物理「力学」「惑星の運動」「運動方程式」

惑星が、太陽のまわりを等速円運動しているとする。太陽の質量をＭ，惑星の質量をｍ，惑星の公転の速さをｖ，軌道半径をｒ，万有引力定数をＧとする。

(1) 惑星の等速円運動の運動方程式を示せ。

運動方程式なので、Ｆ＝ｍａです。
Ｆ＝ｍａに、与えられた値を利用して代入していけばいい。と考えます。

まず、万有引力の大きさＦは、次の式で表されます。

Ｆ＝Ｇ(ｍ1ｍ2／ｒ^2)

今回の問題では、ｍ1＝Ｍ，ｍ2＝ｍと考えて、太陽と惑星の間にはたらく引力は、

Ｆ＝ＧＭｍ／ｒ^2　　・・・�@

ですね。
これが惑星にはたらく向心力です。Ｆ＝ｍａのＦです。

運動方程式を示すためには、あとは、ａを表す必要がありますね。
等速円運動の運動方程式においてａは向心加速度なので、円運動の公式を用いて、ａを表します。

ａ＝ｒω^2＝ｖ^2／ｒだから、今回の問題で与えられているパラメータを使うと、ａ＝ｖ^2／ｒ・・・�Aです。

Ｆ＝ｍａに、�@，�Aを代入して、

ＧＭｍ／ｒ^2＝ｍ・ｖ^2／ｒ

問いは「示せ」というだけでなので、ここで終わりでも構いませんが、両辺にｒ^2／ｍを掛けると少しすっきりした式になります。

ＧＭ＝ｖ^2・ｒ


次の問題→(1)の運動方程式を用いて、ケプラーの第３法則Ｔ^2／ｒ^3＝ｋを導け。


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