2019年07月03日

高校物理「力学」「惑星の運動」「運動方程式」「ケプラーの第3法則」

高校物理「力学」「惑星の運動」「運動方程式」「ケプラーの第3法則」

惑星が、太陽のまわりを等速円運動しているとする。太陽の質量をM,惑星の質量をm,惑星の公転の速さをv,軌道半径をr,万有引力定数をGとする。

(1) 惑星の等速円運動の運動方程式を示せ。

(2) (1)の運動方程式を用いて、ケプラーの第3法則T^2/r^3=kを導け。ただし、Tは公転周期、kは定数とする。

(1)で、「GM=v^2・r」を求めました。

この式を利用して、ケプラーの第3法則を導きます。

惑星の速さをvとすると、円運動の公式から、T=2πr/vという関係式が得られます。
これをvについて解いて、「GM=v^2・r」に代入すれば、まずはvを消去することができます。
やってみましょう!

T=2πr/vより、v=2πr/T

GM=(2πr/T)^2・r
GM=(4π^2・r^2/T^2)・r
GM=(4π^2・r^3/T^2)

両辺に、T^2/r^3を掛けると、

GM(T^2/r^3)=4π^2
  T^2/r^3=4π^2/GM

4π^2/GM=kとすると、

T^2/r^3=k

ということで、ケプラーの第3法則T^2/r^3=kを導くことができました。


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posted by えま at 01:18| Comment(0) | 高校物理 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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