関数ｆ(ｘ)＝ｘ^2／(ｘ－１)について、次の問いに答えよ。
(1) 第１次導関数ｆ'(ｘ)を求めよ。
(2) 第２次導関数ｆ''(ｘ)を求めよ。
前回の記事で、第１次導関数を求めました。
今回は第２次導関数を求めます。
特に変わったことはなく、単にもう一回微分するだけです。
少し計算が大変ですが、がんばっていきましょう！
ｆ'(ｘ)＝ｘ(ｘ－２)／{(ｘ－１)^2}をさらにもう一回微分します。
分数なので、やはり「商の微分法」をやります。
商の微分法の公式は、
{ｆ(ｘ)／ｇ(ｘ)}'＝{ｆ'(ｘ)・ｇ(ｘ)－ｆ(ｘ)・ｇ'(ｘ)}／{ｇ(ｘ)}^2
でしたね。
この問題にこの公式を当てはめてみましょう！
公式のｆ(ｘ)はｘ(ｘ－２)＝ｘ^2－２ｘ，ｇ(ｘ)は(ｘ－１)^2だから、
ｆ''(ｘ)
＝[(ｘ^2－２ｘ)'・(ｘ－１)^2－(ｘ^2－２ｘ)・{(ｘ－１)^2}']／{(ｘ－１)^2}^2
＝(２ｘ－２)・(ｘ－１)^2－(ｘ^2－２ｘ)・２(ｘ－１)'・(ｘ－１)}／{(ｘ－１)^4}
＝{２(ｘ－１)・(ｘ－１)^2－ｘ(ｘ－２)・２(ｘ－１)}／{(ｘ－１)^4}
＝{２(ｘ－１)^3－２ｘ(ｘ－２)(ｘ－１)／{(ｘ－１)^4}
＝{２(ｘ－１)^2－２ｘ(ｘ－２)}／{(ｘ－１)^3}
これをさらに計算して、
＝{２(ｘ^2－２ｘ＋１)－２ｘ^2＋４ｘ)}／{(ｘ－１)^3}
＝(２ｘ^2－４ｘ＋２－２ｘ^2＋４ｘ)／{(ｘ－１)^3}
＝２／{(ｘ－１)^3}
ちなみに、第２次導関数は、変曲点などに活用します。
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