解答(点と直線の距離を使う場合)★高校数学「図形と方程式」「円」「直線」「接線」

解答(点と直線の距離を使う場合)★高校数学「図形と方程式」「円」「直線」「接線」

円ｘ^2＋ｙ^2＝１５と直線ｙ＝２ｘ＋ｋが接するとき、定数ｋの値と接点の座標を求めよ。

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この記事では、点と直線の距離の公式を使って解いた場合を解説します。

ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０の形の１次関数と点(ｘ1，ｙ1)との距離は

ｄ＝|ａｘ1＋ｂｙ1＋ｃ|／√(ａ^2＋ｂ^2)

で表されます。

直線と円の中心との距離が、円の半径に等しいとき、円と直線は接する。ということができますね。

円の式は、ｘ^2＋ｙ^2＝１５なので、中心は原点(０，０)です。(半径は√１５)
直線の式はｙ＝２ｘ＋ｋなので、移項して、２ｘ−ｙ＋ｋ＝０とします。
この形で、(点と直線の距離)＝(半径)で方程式を解けば、ｋの値が出る。というわけです。
やってみましょう！

ｄ＝|２・０−０＋ｋ|／√{２^2＋(−１)^2}
　＝±ｋ／√(４＋１)
　＝±ｋ／√５

半径は√１５なので、

±ｋ／√５＝√１５
　　±ｋ＝√１５×√５
　　±ｋ＝√７５
　　　ｋ＝±５√３

ということで、接するときのｋの値は±５√３です。
つまり接線の方程式は、ｙ＝２ｘ±５√３であることがわかりました。

あとは円との共有点を求めれば完成です。

ｋ＝５√３のとき、ｙ＝２ｘ＋５√３これが円と共有点を持つので、連立方程式で解きます。

　　　　ｘ^2＋(２ｘ＋５√３)^2＝１５
ｘ^2＋４ｘ^2＋２０√３ｘ＋７５＝１５
　　　５ｘ^2＋２０√３ｘ＋６０＝０
　　　　　ｘ^2＋４√３ｘ＋１２＝０
　　　　　　　　(ｘ＋２√３)^2＝０
よって、ｘ＝−２√３
ｙ＝２ｘ＋５√３に代入すると、ｙ＝√３

ｋ＝−５√３のときも同様にすると、ｘ＝２√３，ｙ＝−√３が得られます。

よって、
ｋ＝５√３のとき、接点(−２√３，√３)
ｋ＝−５√３のとき、接点(２√３，−√３)


判別式を使った場合は、別の記事で解説します。


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