【高校数学】読むだけでわかる！センター数学の考え方
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■ 問題
第３問
第４項が３０，初項から第８項までの和が２８８である等差数列を{ａn}とし、
{ａn}の初項から第ｎ項までの和をＳnとする。また、第２項が３６，初項から
第３項までの和が１５６である等比数列で公比が１より大きいものを{ｂn}とし、
{ｂn}の初項から第ｎ項までの和をＴnとする。
(1) {ａn}の初項は[アイ]，公差は[ウエ]であり
Ｓn＝[オ]ｎ^2－[カキ]ｎ
である。
(2) {ｂn}の初項は[クケ]，公比は[コ]であり
Ｔn＝[サ]([シ]^n－[ス])
である。
(3) 数列{ｃn}を次のように定義する。
ｃn＝Σ[k=1～n](ｎ－ｋ＋１)(ａk－ｂk)
＝ｎ(ａ1－ｂ1)＋(ｎ－１)(ａ2－ｂ2)＋…＋２(ａn-1－ｂn-1)＋(ａn－ｂn)
(ｎ＝１，２，３，…)
たとえば
ｃ1＝ａ1－ｂ1，ｃ2＝２(ａ1－ｂ1)＋(ａ2－ｂ2)
ｃ3＝３(ａ1－ｂ1)＋２(ａ2－ｂ2)＋(ａ3－ｂ3)
である。数列{ｃn}の一般項を求めよう。
{ｃn}の階差数列を{ｄn}とする。ｄn＝ｃn+1－ｃnであるから、ｄn＝[セ]を
満たす。[セ]に当てはまるものを、次の{0}～{7}のうちから一つ選べ。
{0} Ｓn＋Ｔn {1} Ｓn－Ｔn {2} －Ｓn＋Ｔn
{3} －Ｓn－Ｔn {4} Ｓn+1＋Ｔn+1 {5} Ｓn+1－Ｔn+1
{6} －Ｓn+1＋Ｔn+1 {7} －Ｓn+1－Ｔn+1
したがって、(1)と(2)により
ｄn＝[ソ]ｎ^2－２・[タ]^(n+[チ])
である。ｃ1＝[ツテト]であるから、{ｃn}の一般項は
ｃn＝[ナ]ｎ^3－[ニ]ｎ^2＋ｎ＋[ヌ]－[タ]^(n+[ネ])
である。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、数列{ａn}のｎ＋１項目はａn+1、
一般項ｎ^2の初項から第ｎ項までの数列の和はΣ[k=1～n]ｋ^2、マル１は{1}、
マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次
◆１ 等差数列と等比数列の用語・公式
◆２ 第４項はｎ＝４，第８項はｎ＝８
◆３ 文字が２つ式が２つなら連立
(以下略)
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■ 解説
◆１は省略します。
◆２ 第４項はｎ＝４，第８項はｎ＝８
では今回の問題を確認してみましょう！
(1)では、{ａn}について尋ねています。
{ａn}の設定の部分を確認してみると・・・
第４項が３０，初項から第８項までの和が２８８である等差数列を{ａn}とし、
{ａn}の初項から第ｎ項までの和をＳnとする。
とあります。
つまり、「ａ4＝３０」「Ｓ8＝２８８」ですね。
これらを等差数列の公式に当てはめてみると、
ａ4＝ａ＋(４－１)ｄ＝３０
ａ＋３ｄ＝３０
Ｓ8＝(８／２){２ａ＋(８－１)ｄ}＝２８８
４(２ａ＋７ｄ)＝２８８
２ａ＋７ｄ＝７２ ←両辺を４で割った
このように、ａとｄについての式が２つできました。
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◆３ 文字が２つ式が２つなら連立
今◆２で、
ａ＋３ｄ＝３０
２ａ＋７ｄ＝７２
という式ができました。これらから何がわかるでしょうか？
文字が２つ、式が２つなら連立方程式で解けますね！やってみましょう！
２ａ＋６ｄ＝６０
－）２ａ＋７ｄ＝７２
――――――――――
－ｄ＝－１２
ｄ＝１２
ｄ＝１２をａ＋３ｄ＝３０に代入して・・・
(以下略)
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ラベル：数学
