2019年10月16日

高校数学「2次関数」「最小値」A

高校数学「2次関数」「最小値」A

2次関数y=x^2−2ax+1(0≦x≦1)の最小値を求めよ。また、そのときのxの値を求めよ。


まず@では、頂点を求めて、頂点が定義域内にある場合の最小値を求めました
この記事では、頂点が定義域内にない場合も考え、解答を導きます。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


与式を平方完成して

y=x^2−2ax+1
 =x^2−2ax+a^2−a^2+1
 =(x−a)^2−a^2+1

よって、頂点は(a,−a^2+1)であることがわかりました。

与式の2次関数は下に凸のグラフなので、頂点が定義域より左にあるときは、定義域の左端が最小値になります。
つまり、a<0ならば、x=0で最小値ですね。
与式にx=0を代入すると、y=1
よって、「a<0のとき、x=0で最小値1」となります。

続いて、頂点が定義域より右にあるときは、定義域の右端が最小値になります。
つまり、a>1ならば、x=1で最小値です。
与式にx=1を代入すると、1−2a+1=−2a+2
よって、「a>1のとき、x=1で最小値−2a+2」となります。

前回の頂点が定義域内にある場合とまとめると、

a<0のときx=0で最小値1
0≦a≦1のときx=aで最小値−a^2+1
a>1のときx=1で最小値−2a+2


関連項目
平方完成のやり方
2009年センター数1Aの2次関数


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posted by えま at 10:00| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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