高校数学「２次関数」「最小値」�A

高校数学「２次関数」「最小値」�A

２次関数ｙ＝ｘ²−２ａｘ＋１(０≦ｘ≦１)の最小値を求めよ。また、そのときのｘの値を求めよ。


まず�@では、頂点を求めて、頂点が定義域内にある場合の最小値を求めました。
この記事では、頂点が定義域内にない場合も考え、解答を導きます。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


与式を平方完成して

ｙ＝ｘ²−２ａｘ＋１
　＝ｘ²−２ａｘ＋ａ²−ａ²＋１
　＝(ｘ−ａ)²−ａ²＋１

よって、頂点は(ａ，−ａ²＋１)であることがわかりました。

与式の２次関数は下に凸のグラフなので、頂点が定義域より左にあるときは、定義域の左端が最小値になります。
つまり、ａ＜０ならば、ｘ＝０で最小値ですね。
与式にｘ＝０を代入すると、ｙ＝１
よって、「ａ＜０のとき、ｘ＝０で最小値１」となります。

続いて、頂点が定義域より右にあるときは、定義域の右端が最小値になります。
つまり、ａ＞１ならば、ｘ＝１で最小値です。
与式にｘ＝１を代入すると、１−２ａ＋１＝−２ａ＋２
よって、「ａ＞１のとき、ｘ＝１で最小値−２ａ＋２」となります。

前回の頂点が定義域内にある場合とまとめると、

ａ＜０のときｘ＝０で最小値１
０≦ａ≦１のときｘ＝ａで最小値−ａ²＋１
ａ＞１のときｘ＝１で最小値−２ａ＋２


関連項目
平方完成のやり方
2009年センター数１Ａの２次関数


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