高校数学「２次関数」「最大値」�@

高校数学「２次関数」「最大値」�@

２次関数ｙ＝ｘ^2−２ａｘ＋１(０≦ｘ≦１)の最大値を求めよ。また、そのときのｘの値を求めよ。


２次関数の最大最小を考えるときは、まずは頂点を求めます。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


与式を平方完成して

ｙ＝ｘ^2−２ａｘ＋１
　＝ｘ^2−２ａｘ＋ａ^2−ａ^2＋１
　＝(ｘ−ａ)^2−ａ^2＋１

よって、頂点は(ａ，−ａ^2＋１)です。

下に凸の２次関数の最大値は、定義域の両端のうち、頂点から遠い方になります。
頂点がちょうど真ん中にある場合は、定義域の両端が同じ値になり、その場合が境目となります。

というわけで、まずは定義域の真ん中に頂点がある場合を求めてみましょう！

定義域は０≦ｘ≦１なので、真ん中はｘ＝１／２ですね。

頂点は(ａ，−ａ^2＋１)なので、ａ＝１／２のとき、最大値は定義域の両端になります。
与式にｘ＝０を代入すると、ｙ＝１です。

よって、ａ＝１／２のとき、ｘ＝０，１で最大値１


つづく


関連項目
最小値の場合
平方完成のやり方
2009年センター数１Ａの２次関数


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