高校数学「２次関数」「最大値」�A

高校数学「２次関数」「最大値」�A

２次関数ｙ＝ｘ^2−２ａｘ＋１(０≦ｘ≦１)の最大値を求めよ。また、そのときのｘの値を求めよ。


前回の記事では、頂点が定義域の真ん中にある場合の最大値を求めました。
この記事では、頂点が真ん中ではないときを求め、解答を完成させます。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



前回の記事で、まずは頂点が定義域の真ん中のときの最大値を求めました。

あとは、真ん中より左の場合と右の場合を求めれば完成です！


与式を平方完成して

ｙ＝ｘ^2−２ａｘ＋１
　＝ｘ^2−２ａｘ＋ａ^2−ａ^2＋１
　＝(ｘ−ａ)^2−ａ^2＋１

よって、頂点は(ａ，−ａ^2＋１)でしたね。

下に凸の２次関数の最大値は、定義域の両端のうち、頂点から遠い方になります。

真ん中はａ＝１／２のときなので、それより左はａ＜１／２です。
ａ＜１／２のとき、定義域の右端ｘ＝１が最大値になります。
与式にｘ＝１を代入すると、ｙ＝１−２ａ＋１＝−２ａ＋２

真ん中より右の場合は、ａ＞１／２ですね。
このときは、定義域の左端ｘ＝０が最大値になります。
つまり、ｙ＝１が最大値です。

前回の記事の頂点が真ん中にある場合とあわせてまとめると、

ａ＜１／２のとき、ｘ＝１で最大値−２ａ＋２
ａ＝１／２のとき、ｘ＝０，１で最大値１
ａ＞１／２のとき、ｘ＝０で最大値１


関連項目
最小値の場合
平方完成のやり方
2009年センター数１Ａの２次関数


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−