高校数学「２次不等式」「全ての実数」�@

高校数学「２次不等式」「全ての実数」「判別式」�@

■問題
２次不等式２ｘ^2−ｋｘ＋ｋ＋１＞０の解が全ての実数であるような定数ｋの値の範囲を求めよ。


■考え方
不等式の解が全ての実数であるならば、２次関数のグラフと横軸との共有点がないので・・・


解説はこのページ下


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■解答解説

今回の問題の２次式は、ｘ２乗の係数がプラスだから下に凸の２次関数になるので、
「不等式の解が全ての実数」というのは、「２次関数とｘ軸の共有点がない」と同じ意味を表します。

２次関数とｘ軸の位置関係は判別式Ｄ＝ｂ^2−４ａｃで調べることができます。

共有点を持たないときは、Ｄ＜０です。

２ｘ^2−ｋｘ＋ｋ＋１＞０なので、Ｄ＝ｂ^2−４ａｃに、ａ＝２，ｂ＝−ｋ，ｃ＝ｋ＋１を代入して、

Ｄ＝(−ｋ)^2−４×２×(ｋ＋１)
　＝ｋ^2−８ｋ−８＜０

解の公式に代入して、

ｋ＝[−(−８)±√{(−８)^2−４×１×(−８)}]／２×１
　＝{８±√(６４＋３２)}／２
　＝(８±√９６)／２
　＝(８±４√６)／２
　＝４±２√６

Ｄ＜０なので、これら２つの解の間が求める範囲だから、

４−２√６＜ｋ＜４＋２√６


次の問題→解が全ての実数の２次不等式�A


関連項目
判別式
ｘの値にかかわらず常に成り立つ２次不等式


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