高校数学「２次不等式」「全ての実数」�A

高校数学「２次不等式」「全ての実数」「判別式」�A

■問題
２次不等式ｘ^2−(ｋ＋３)ｘ＋４ｋ≧０の解が全ての実数であるような定数ｋの値の範囲を求めよ。


■考え方
(２次式)≧０の解が全ての実数というのはつまり、２次関数とｘ軸の共有点が０個または１個です。


解説はこのページ下


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■解答解説

今回の問題の２次式は、ｘ２乗の係数がプラスだから下に凸の２次関数になるので、
(２次式)≧０の解が全ての実数となるためには、２次関数とｘ軸が共有点を持たないか接する必要があります。
つまり、Ｄ≦０です。

ｘ^2−(ｋ＋３)ｘ＋４ｋ≧０なので、Ｄ＝ｂ^2−４ａｃに、ａ＝１，ｂ＝−(ｋ＋３)，ｃ＝４ｋを代入して、

Ｄ＝{−(ｋ＋３)}^2−４×１×４ｋ
　＝(ｋ＋３)^2−１６ｋ
　＝ｋ^2＋６ｋ＋９−１６ｋ
　＝ｋ^2−１０ｋ＋９≦０
　　　(ｋ−１)(ｋ−９)≦０

この２次不等式の解は横軸の下側なので、求めるｋの値の範囲は、

１≦ｋ≦９


連立２次不等式�@


関連項目
判別式
ｘの値にかかわらず常に成り立つ２次不等式


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